Perbandingan Trigonometri dari Sudut Pelengkap (Komplementer)
Bagaimana menemukan perbandingan trigonometri sudut komplementer?
Jika jumlah dua sudut adalah 900, maka satu sudut dikatakan saling melengkapi. Jadi, 250 dan 650; θ0 dan (90 - θ)0 saling melengkapi.
Misalkan garis yang berputar pada O berlawanan jarum jam dan mulai dari posisi awalnya.
OX mencari sudut ∠XOY = θ, di mana θ adalah kemiringan.
Ambil titik P pada OY dan gambar PQ tegak lurus terhadap OX. Misalkan, ∠OPQ = α. Lalu, kita memiliki,
α + θ = 900
atau, α = 900 - θ.
Oleh karena itu, θ dan α saling melengkapi satu sama lain.
Sekarang, dengan definisi perbandingan trigonometri,
sin θ = PQ/OP; ………. (i)
cos θ = OQ/OP; ………. (ii)
tan θ = PQ/OQ ………. (iii)
Dan sin α = OQ/OP; ………. (iv)
cos α = PQ/OP; ………. (v)
tan α = OQ/PQ….… (vi)
Dari (i) dan (iv) yang kami miliki,
sin α = cos θ
atau, sin (90 ° - θ) = cos θ;
Dari (ii) dan (v) yang kami miliki,
cos α = sin θ
atau, cos (90 ° - θ) = sin θ;
Dari (iii) dan (vi) yang kami miliki,
Dan tan α = 1/tan θ
atau, tan (900 - θ) = cot θ.
Demikian pula, csc (90 ° - θ) = sec θ;
sec (90 ° - θ) = csc θ
dan cot (90 ° - θ) = tan θ.
Karena itu,
Sinus dari sudut manapun = cosinus dari sudut komplementernya;
Cosinus dari sudut manapun = sinus dari sudut komplementernya;
Tangen dari sudut manapun = cotangen komplementernya.
CATATAN:
Sudut Komplementer: Dua sudut dikatakan saling melengkapi jika jumlahnya adalah 900. Jadi θ dan (90 ° - θ) adalah sudut yang saling melengkapi.
(i) sin (90 ° - θ) = cos θ (ii) cos (90 ° - θ) = sin θ
(iii) tan (90 ° - θ) = cot θ (iv) cot (90 ° - θ) = tan θ
(v) sec (90 ° - θ) = csc θ (vi) csc (90 ° - θ) = sec θ
Contoh 1:
Tanpa menggunakan tabel trigonometri, evaluasi tan 650/cot 250!
Jawab:
tan 650/cot 250 = tan 650/cot (900 - 650)
karena cot (900 - 650) = tan 650, maka
tan 650/cot 250 = 1
Contoh 2:
Tanpa menggunakan tabel trigonometri, evaluasi sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55°!
Jawab:
sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55°
= sin 35° sin (90° - 35°) - cos 35° cos (90° - 35°),
= sin 35° cos 35° - cos 35° sin 35°,
[karena sin (90° - θ) = cos θ and cos (90° - θ) = sin θ], maka
sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55° = sin 35° cos 35° - sin 35° cos 35° = 0
Contoh 3:
Jika sec 5θ = csc (θ - 36°) di mana 5θ adalah sudut kemiringan, cari nilai θ!
Jawab:
sec 5θ = csc (θ - 36°)
⇒ csc (90° - 5θ) = csc (θ - 36°), [karena sec θ = csc (90° - θ)]
⇒ (90° - 5θ) = (θ - 36°)
⇒ -5θ - θ = -36° - 90°
⇒ -6θ = -126°
⇒ θ = 21°, [Membagi kedua sisi dengan -6]
jadi, θ = 21°
Contoh 4:
Menggunakan perbandingan trigonometri sudut komplementer untuk membuktikan tan 1° tan 2° tan 3° ......... tan 89° = 1!
Jawab:
tan 1° tan 2° tan 3° ...... tan 89°
= tan 1° tan 2° ...... tan 44° tan 45° tan 46° ...... tan 88° tan 89°
= (tan 1° ∙ tan 89°) (tan 2° ∙ tan 88°) ...... (tan 44° ∙ tan 46°) ∙ tan 45°
= {tan 1° ∙ tan (90° - 1°)} ∙ {tan 2° ∙ (tan 90° - 2°)} ...... {tan 44° ∙ tan (90° - 44°)} ∙ tan 45°
= (tan 1° ∙ cot 1°)(tan 2° ∙ cot 2°) ...... (tan 44° ∙ cot 44°) ∙ tan 45°, [karena tan (90° - θ) = cot θ]
= (1)(1) ...... (1) ∙ 1, [karena tan θ ∙ cot θ = 1 dan tan 45° = 1]
= 1
Jadi, tan 1° tan 2° tan 3° ...... tan 89° = 1
Rasio Trigonometrik Dasar dan Namanya Batasan-batasan Rasio Trigonometrik Hubungan Timbal Balik dari Rasio Trigonometri Hubungan Hasil Bagi (Quotient) dari Rasio Trigonometrik Batas (Limit) Rasio Trigonometrik Identitas Trigonometri Masalah pada Identitas Trigonometri Eliminasi Rasio Trigonometri Hilangkan sudut di antara persamaan Masalah pada Eliminasi Sudut Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Identitas Trigonometrik Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0° Perbandingan trigonometri 30° Perbandingan Trigonometrik 45° Perbandingan Trigonometrik 60° Perbandingan trigonometri 900 Tabel Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Masalah pada Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri dari Sudut Komplementer Aturan-aturan Tanda pada Trigonometri Tanda Perbandingan Trigonometri Semua aturan Sin Tan Cos Perbandingan Trigonometri dari (- θ) Perbandingan Trigonometri (90° + θ) Perbandingan Trigonometri (90° - θ) Perbandingan Trigonometri (180° + θ) Perbandingan Trigonometri (180° - θ) Perbandingan Trigonometri (270° + θ) Perbandingan Trigonometri (270° - θ) Perbandingan Trigonometri (360° + θ) Perbandingan Trigonometri (360° - θ) Perbandingan trigonometri dari berbagai sudut Perbandingan trigonometri dari beberapa sudut tertentu Perbandingan Trigonometri suatu Sudut Fungsi Trigonometri dari Berbagai Sudut Masalah pada Perbandingan Trigonometri dari Sudut Masalah pada Tanda Perbandingan Trigonometri
Jika jumlah dua sudut adalah 900, maka satu sudut dikatakan saling melengkapi. Jadi, 250 dan 650; θ0 dan (90 - θ)0 saling melengkapi.
Misalkan garis yang berputar pada O berlawanan jarum jam dan mulai dari posisi awalnya.
OX mencari sudut ∠XOY = θ, di mana θ adalah kemiringan.
Ambil titik P pada OY dan gambar PQ tegak lurus terhadap OX. Misalkan, ∠OPQ = α. Lalu, kita memiliki,
α + θ = 900
atau, α = 900 - θ.
Oleh karena itu, θ dan α saling melengkapi satu sama lain.
Sekarang, dengan definisi perbandingan trigonometri,
sin θ = PQ/OP; ………. (i)
cos θ = OQ/OP; ………. (ii)
tan θ = PQ/OQ ………. (iii)
Dan sin α = OQ/OP; ………. (iv)
cos α = PQ/OP; ………. (v)
tan α = OQ/PQ….… (vi)
Dari (i) dan (iv) yang kami miliki,
sin α = cos θ
atau, sin (90 ° - θ) = cos θ;
Dari (ii) dan (v) yang kami miliki,
cos α = sin θ
atau, cos (90 ° - θ) = sin θ;
Dari (iii) dan (vi) yang kami miliki,
Dan tan α = 1/tan θ
atau, tan (900 - θ) = cot θ.
Demikian pula, csc (90 ° - θ) = sec θ;
sec (90 ° - θ) = csc θ
dan cot (90 ° - θ) = tan θ.
Karena itu,
Sinus dari sudut manapun = cosinus dari sudut komplementernya;
Cosinus dari sudut manapun = sinus dari sudut komplementernya;
Tangen dari sudut manapun = cotangen komplementernya.
CATATAN:
Sudut Komplementer: Dua sudut dikatakan saling melengkapi jika jumlahnya adalah 900. Jadi θ dan (90 ° - θ) adalah sudut yang saling melengkapi.
(i) sin (90 ° - θ) = cos θ (ii) cos (90 ° - θ) = sin θ
(iii) tan (90 ° - θ) = cot θ (iv) cot (90 ° - θ) = tan θ
(v) sec (90 ° - θ) = csc θ (vi) csc (90 ° - θ) = sec θ
Contoh 1:
Tanpa menggunakan tabel trigonometri, evaluasi tan 650/cot 250!
Jawab:
tan 650/cot 250 = tan 650/cot (900 - 650)
karena cot (900 - 650) = tan 650, maka
tan 650/cot 250 = 1
Contoh 2:
Tanpa menggunakan tabel trigonometri, evaluasi sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55°!
Jawab:
sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55°
= sin 35° sin (90° - 35°) - cos 35° cos (90° - 35°),
= sin 35° cos 35° - cos 35° sin 35°,
[karena sin (90° - θ) = cos θ and cos (90° - θ) = sin θ], maka
sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55° = sin 35° cos 35° - sin 35° cos 35° = 0
Contoh 3:
Jika sec 5θ = csc (θ - 36°) di mana 5θ adalah sudut kemiringan, cari nilai θ!
Jawab:
sec 5θ = csc (θ - 36°)
⇒ csc (90° - 5θ) = csc (θ - 36°), [karena sec θ = csc (90° - θ)]
⇒ (90° - 5θ) = (θ - 36°)
⇒ -5θ - θ = -36° - 90°
⇒ -6θ = -126°
⇒ θ = 21°, [Membagi kedua sisi dengan -6]
jadi, θ = 21°
Contoh 4:
Menggunakan perbandingan trigonometri sudut komplementer untuk membuktikan tan 1° tan 2° tan 3° ......... tan 89° = 1!
Jawab:
tan 1° tan 2° tan 3° ...... tan 89°
= tan 1° tan 2° ...... tan 44° tan 45° tan 46° ...... tan 88° tan 89°
= (tan 1° ∙ tan 89°) (tan 2° ∙ tan 88°) ...... (tan 44° ∙ tan 46°) ∙ tan 45°
= {tan 1° ∙ tan (90° - 1°)} ∙ {tan 2° ∙ (tan 90° - 2°)} ...... {tan 44° ∙ tan (90° - 44°)} ∙ tan 45°
= (tan 1° ∙ cot 1°)(tan 2° ∙ cot 2°) ...... (tan 44° ∙ cot 44°) ∙ tan 45°, [karena tan (90° - θ) = cot θ]
= (1)(1) ...... (1) ∙ 1, [karena tan θ ∙ cot θ = 1 dan tan 45° = 1]
= 1
Jadi, tan 1° tan 2° tan 3° ...... tan 89° = 1
Fungsi Trigonometri
){kind=link}
Post a Comment for "Perbandingan Trigonometri dari Sudut Pelengkap (Komplementer)"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!