Masalah pada Tanda Perbandingan Trigonometri
Kita akan belajar bagaimana menyelesaikan berbagai jenis masalah pada tanda-tanda rasio trigonometri dari berbagai sudut.
Contoh 1. Untuk nilai riil x apakah persamaan 2 cos θ = x + 1/x mungkin?
Jawab:
Diberikan, 2 cos θ = x + 1/x
⇒ x2 - 2 cos θ ∙ x + 1 = 0, yang merupakan kuadrat dalam x. Karena x nyata, berbeda ≥ 0
⇒ (-2 cos θ)2 - 4 ∙ 1 ∙ 1 ≥ 0
⇒ cos2 θ ≥ 1 tetapi cos2 θ ≤ 1
⇒ cos2 θ = 1
⇒ cos θ = ±1
Kasus I: Ketika cos θ = 1, kita dapatkan,
x2 - 2x + 1 = 0
⇒ x = 1
Kasus II: Ketika cos θ = -1, kita dapatkan,
x2 + 2x + 1 = 0
⇒ x = -1.
Maka nilai x adalah 1 dan -1.
Contoh 2: Selesaikan sin θ + √3cos θ = 1, (0 < 0 <360°).
Jawab:
sin θ + √3 cos θ = 1
⇒ √3 cos θ = 1 - sin θ
⇒ (√3 cos θ)2 = (1- sin θ)2
⇒ 3cos2 θ = 1 – 2 sin θ + sin2 θ
⇒ 3 (1 - sin2 θ) - 1 + 2 sin θ - sin2 θ = 0
⇒ 2 sin2 θ - sin θ - 1 = 0
⇒ 2 sin2 θ - 2 sin θ + sin θ - 1 = 0
⇒ (sin θ - 1) (2 sin θ +1) = 0
Karena itu, baik sin θ - 1 = 0 atau, 2 sin θ + 1 = 0
Jika sin θ - 1 = 0 maka
sin θ = 1 = sin 90°
Karena itu, θ = 90°
Sekali lagi, 2 sin θ + 1 = 0 memberi, sin θ = -1/2
Sekarang, karena sin θ negatif, maka θ terletak di kuadran ketiga atau keempat.
Karena sin θ = -1/2 = - sin 30 ° = sin (180 ° + 30 °) = Sin 210 °
dan sin θ = - 1/2 = - sin 30 ° = sin (360 ° - 30 °) = sin 330 °
Oleh karena itu, θ = 210 ° atau 330 °
Oleh karena itu, diperlukan solusi dalam
0 < θ <360 ° adalah: 90°, 210° dan 330°.
Contoh 3: Jika 5 sin x = 3, cari nilai (sec x – tan x)/(secx + tan x)
Jawab:
Diberi 5 sin x = 3
⇒ sin x = 3/5.
Sekarang (sec x – tan x)/(sec x + tan x)
= [1/cos x – sinx/cosx]/[1/cosx + sinx/cosx]
= [1 – sinx]/[1 + sinx]
= (1−3/5)/(1 + 3/5)
= 2/8
= ¼.
Contoh 4: A, B, C, D adalah empat sudut, diambil dalam urutan segiempat siklik. Buktikan bahwa,
cot A + cot B + cot C + cot D = 0.
Jawab
Kita tahu bahwa sudut berlawanan dari segi empat siklik adalah pelengkap.
Karena itu, dengan pertanyaan yang kita miliki,
A + C = 180° atau, C = 180° - A;
Dan B + D = 180° atau, D = 180° - B.
Oleh karena itu,
cot A + cot B + cot C + cot D
= cot A + cot B + cot (180° - A) + cot (180° - B)
= cot A + cot B - cot A - cot B
= 0. Terbukti.
Contoh 5: Jika tan α = -2, cari nilai fungsi trigonometrik α yang tersisa.
Jawab:
Diberikan tan α = - 2 yang negatife oleh karena itu, α terletak di kuadran kedua atau keempat.
Juga sec2 α = 1 + tan2 α = 1 + (-2)2 = 5
⇒ sec α = ± √5.
Dua kasus muncul:
Kasus I. Ketika α terletak di kuadran kedua, sec α adalah negatif
Karena itu, sec α = -√5
⇒ cos α = -1/√5
sin α = [sinα/cos α]⋅cosα = tan α cos α = -2 (-1/√5) = 2/√5
⇒ csc α = √5/2.
Juga tan α = -2
⇒ cot α = ½.
Kasus II. Ketika α terletak di kuadran keempat, sec α adalah positif
Karena itu, sec α = √5
⇒ cos α = 1/√5
sin α = [sinα/cosα]⋅cosα = tan α cos α = -2 (1/√5) = -2/√5
Contoh 6: Jika tan (α - β) = 1, sec (α + β) = 2/√3, cari besaran positif α dan β.
Jawab:
Kita punya, tan (α - β) = 1 = tan 45°
Karenanya, α - β = 45° ………………. (1)
Sekali lagi, sec (α + β) = 2/√3
⇒ cos (α + β) = √3/2
⇒ cos (α + β) = cos 30° atau, cos (360° - 30°) = cos 330 °
Oleh karena itu, α + β = 30° atau, 330°
Karena α dan β positif dan α - β = 45°, maka kita harus memiliki,
α + β = 330° …………… .. (2)
(1) + (2) memberi, 2a = 375°
⇒ α = {187,5} °
dan (2) - (1) memberi,
2β = 285° atau, β = {142,5} °
Rasio Trigonometrik Dasar dan Namanya Batasan-batasan Rasio Trigonometrik Hubungan Timbal Balik dari Rasio Trigonometri Hubungan Hasil Bagi (Quotient) dari Rasio Trigonometrik Batas (Limit) Rasio Trigonometrik Identitas Trigonometri Masalah pada Identitas Trigonometri Eliminasi Rasio Trigonometri Hilangkan sudut di antara persamaan Masalah pada Eliminasi Sudut Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Identitas Trigonometrik Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0° Perbandingan trigonometri 30° Perbandingan Trigonometrik 45° Perbandingan Trigonometrik 60° Perbandingan trigonometri 900 Tabel Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Masalah pada Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri dari Sudut Komplementer Aturan-aturan Tanda pada Trigonometri Tanda Perbandingan Trigonometri Semua aturan Sin Tan Cos Perbandingan Trigonometri dari (- θ) Perbandingan Trigonometri (90° + θ) Perbandingan Trigonometri (90° - θ) Perbandingan Trigonometri (180° + θ) Perbandingan Trigonometri (180° - θ) Perbandingan Trigonometri (270° + θ) Perbandingan Trigonometri (270° - θ) Perbandingan Trigonometri (360° + θ) Perbandingan Trigonometri (360° - θ) Perbandingan trigonometri dari berbagai sudut Perbandingan trigonometri dari beberapa sudut tertentu Perbandingan Trigonometri suatu Sudut Fungsi Trigonometri dari Berbagai Sudut Masalah pada Perbandingan Trigonometri dari Sudut Masalah pada Tanda Perbandingan Trigonometri
Contoh 1. Untuk nilai riil x apakah persamaan 2 cos θ = x + 1/x mungkin?
Jawab:
Diberikan, 2 cos θ = x + 1/x
⇒ x2 - 2 cos θ ∙ x + 1 = 0, yang merupakan kuadrat dalam x. Karena x nyata, berbeda ≥ 0
⇒ (-2 cos θ)2 - 4 ∙ 1 ∙ 1 ≥ 0
⇒ cos2 θ ≥ 1 tetapi cos2 θ ≤ 1
⇒ cos2 θ = 1
⇒ cos θ = ±1
Kasus I: Ketika cos θ = 1, kita dapatkan,
x2 - 2x + 1 = 0
⇒ x = 1
Kasus II: Ketika cos θ = -1, kita dapatkan,
x2 + 2x + 1 = 0
⇒ x = -1.
Maka nilai x adalah 1 dan -1.
Contoh 2: Selesaikan sin θ + √3cos θ = 1, (0 < 0 <360°).
Jawab:
sin θ + √3 cos θ = 1
⇒ √3 cos θ = 1 - sin θ
⇒ (√3 cos θ)2 = (1- sin θ)2
⇒ 3cos2 θ = 1 – 2 sin θ + sin2 θ
⇒ 3 (1 - sin2 θ) - 1 + 2 sin θ - sin2 θ = 0
⇒ 2 sin2 θ - sin θ - 1 = 0
⇒ 2 sin2 θ - 2 sin θ + sin θ - 1 = 0
⇒ (sin θ - 1) (2 sin θ +1) = 0
Karena itu, baik sin θ - 1 = 0 atau, 2 sin θ + 1 = 0
Jika sin θ - 1 = 0 maka
sin θ = 1 = sin 90°
Karena itu, θ = 90°
Sekali lagi, 2 sin θ + 1 = 0 memberi, sin θ = -1/2
Sekarang, karena sin θ negatif, maka θ terletak di kuadran ketiga atau keempat.
Karena sin θ = -1/2 = - sin 30 ° = sin (180 ° + 30 °) = Sin 210 °
dan sin θ = - 1/2 = - sin 30 ° = sin (360 ° - 30 °) = sin 330 °
Oleh karena itu, θ = 210 ° atau 330 °
Oleh karena itu, diperlukan solusi dalam
0 < θ <360 ° adalah: 90°, 210° dan 330°.
Contoh 3: Jika 5 sin x = 3, cari nilai (sec x – tan x)/(secx + tan x)
Jawab:
Diberi 5 sin x = 3
⇒ sin x = 3/5.
Sekarang (sec x – tan x)/(sec x + tan x)
= [1/cos x – sinx/cosx]/[1/cosx + sinx/cosx]
= [1 – sinx]/[1 + sinx]
= (1−3/5)/(1 + 3/5)
= 2/8
= ¼.
Contoh 4: A, B, C, D adalah empat sudut, diambil dalam urutan segiempat siklik. Buktikan bahwa,
cot A + cot B + cot C + cot D = 0.
Jawab
Kita tahu bahwa sudut berlawanan dari segi empat siklik adalah pelengkap.
Karena itu, dengan pertanyaan yang kita miliki,
A + C = 180° atau, C = 180° - A;
Dan B + D = 180° atau, D = 180° - B.
Oleh karena itu,
cot A + cot B + cot C + cot D
= cot A + cot B + cot (180° - A) + cot (180° - B)
= cot A + cot B - cot A - cot B
= 0. Terbukti.
Contoh 5: Jika tan α = -2, cari nilai fungsi trigonometrik α yang tersisa.
Jawab:
Diberikan tan α = - 2 yang negatife oleh karena itu, α terletak di kuadran kedua atau keempat.
Juga sec2 α = 1 + tan2 α = 1 + (-2)2 = 5
⇒ sec α = ± √5.
Dua kasus muncul:
Kasus I. Ketika α terletak di kuadran kedua, sec α adalah negatif
Karena itu, sec α = -√5
⇒ cos α = -1/√5
sin α = [sinα/cos α]⋅cosα = tan α cos α = -2 (-1/√5) = 2/√5
⇒ csc α = √5/2.
Juga tan α = -2
⇒ cot α = ½.
Kasus II. Ketika α terletak di kuadran keempat, sec α adalah positif
Karena itu, sec α = √5
⇒ cos α = 1/√5
sin α = [sinα/cosα]⋅cosα = tan α cos α = -2 (1/√5) = -2/√5
Contoh 6: Jika tan (α - β) = 1, sec (α + β) = 2/√3, cari besaran positif α dan β.
Jawab:
Kita punya, tan (α - β) = 1 = tan 45°
Karenanya, α - β = 45° ………………. (1)
Sekali lagi, sec (α + β) = 2/√3
⇒ cos (α + β) = √3/2
⇒ cos (α + β) = cos 30° atau, cos (360° - 30°) = cos 330 °
Oleh karena itu, α + β = 30° atau, 330°
Karena α dan β positif dan α - β = 45°, maka kita harus memiliki,
α + β = 330° …………… .. (2)
(1) + (2) memberi, 2a = 375°
⇒ α = {187,5} °
dan (2) - (1) memberi,
2β = 285° atau, β = {142,5} °
Fungsi Trigonometri
Post a Comment for "Masalah pada Tanda Perbandingan Trigonometri "
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!