Panjang Busur

Contoh-contoh akan membantu kita untuk memahami bagaimana menemukan panjang busur menggunakan rumus ‘s sama dengan r theta’.

Masalah yang diselesaikan pada panjang busur:

Contoh 1: Dalam lingkaran dengan jari-jari 6 cm, dan sudutnya 20°17' ditengah. Tentukan dalam satuan sexagesimal, sudut yang diubah oleh busur yang sama di tengah lingkaran dengan radius 8 cm.

Jawab:

Misalkan busur panjangnya menjadi m cm subtends 20°17' di tengah lingkaran jari-jari 6 cm dan α° di tengah lingkaran jari-jari 8 cm.

Sekarang, 20°17'= {20 (17/60)}°

= (1217/60)°

= 1217π/(60 × 180) radian [karena, 180° = π radian]

Dan α° = πα/180 radian

Kita tahu, s = rθ maka kita dapatkan,

Saat lingkaran jari-jari 6 cm; m = 6 × [(1217π)/(60 × 180)] ………… (i)

Dan ketika lingkaran jari-jari 8 cm; m = 8 × (πα)/180 …………… (ii)

Karena itu, dari (i) dan (ii) kita dapatkan;

8 × (πα)/180 = 6 × [(1217π)/(60 × 180)]

atau, α = [(6/8) × (1217/60)]°

atau, α = (3/4) × 20°17'[karena, (1217/60)° = 20°17']

atau, α = 3 × 5°4'15”

atau, α = 15°12'45".

Oleh karena itu, sudut yang diperlukan dalam unit sexagesimal = 15°12'45”.

Conroh 2. Dinda berlari di sepanjang lintasan melingkar dengan kecepatan 10 mil per jam melintasi busur dalam 36 detik yang membentuk 56° di tengah. Tentukan diameter lingkaran.

Jawab:
Satu jam = 3600 detik

Satu mil = 5280 kaki

Oleh karena itu, 10 mil = (5280 × 10) kaki = 52800 kaki

Dalam 3600 detik Dinda berjalan 5.800 kaki

Dalam 1 detik Dinda berjalan  52800/3600 kaki = 44/3 kaki

Oleh karena itu, dalam 36 detik Dinda berjalan (44/3) × 36 kaki = 528 kaki.

Jelas, busur dengan panjang 528 kaki membentuk 56° = 56 × π/180 radian di tengah lintasan
melingkar. Jika ‘y’ kaki adalah jari-jari dari trek melingkar maka gunakan rumus s = rθ kita dapatkan,

y = s/θ

y = 528/[56 × (π/180)]

y = (528 × 180 × 7)/(56 × 22) kaki

y = 540 kaki

y = (540/3) yard [karena, kita tahu bahwa 3 kaki = 1 yard]

y = 180 yard

Oleh karena itu, diameter yang dibutuhkan = 2 × 180 yard = 360 yard.

Contoh 3: Jika radian α₁, α₂, α₃ menjadi sudut yang digantikan oleh busur dengan panjang l₁, l₂, l₃ di pusat lingkaran yang jari-jarinya adalah r₁, r₂, r₃ secara berurutan, kemudian menunjukkan bahwa sudutnya di tengah oleh busur. Panjang (l₁ + l₂ + l₃) dari lingkaran yang jari-jarinya (r₁ + r₂ + r₃) akan menjadi (r₁ α¹ + r₂α₂ + r₃α₃)/(r₁ + r₂ + r₃) radian.

Jawab:
Menurut Soal, panjang busur l₁ dari lingkaran jari-jari r¹ membuat sudut α₁ di pusatnya. Oleh karena itu, menggunakan rumus, s = rθ kita dapatkan,

l₁ = r₁α₁.
Demikian pula, l₂ = r₂α₂

dan l₃ = r₃ α₃.

Oleh karena itu, l₁ + l₂ + l₃ = r₁α₁ + r₂α₂ + r₃α₃.

Misalkan panjang busur (l₁ + l₂ + l₃) dari lingkaran jari-jari (r₁ + r₂ + r₃) membuat sebuah sudut α radian di pusatnya.

Kemudian, α = (l₁ + l₂ + l₃)/(r₁ + r₂ + r₃)

Sekarang, masukkan nilai l₁ = r₁α₁, l₂ = r₂α₂ dan l₃ = r₃α₃.

atau, α = (r₁α₁ + r₂α₂ + r₃α₃)/(r₁ + r₂ + r₃) radian. (Terbukti)


Pengukuran Sudut Lainnya;

Tanda pada Sudut

Sudut pada Trigonometri

Mengukur Sudut dalam Trigonometri

Sistem Mengukur Sudut

Sifat Penting dalam Lingkaran

S = Rθ

Sistem Sexagesimal, sentesimal dan sirkular

Konversi Sistem Mengukur Sudut

Konversi Ukuran Lingkaran

Konversi menjadi Radian

Masalah Berdasarkan Sistem Mengukur Sudut

Panjang Busur

Masalah berdasarkan Formula S R Theta