Membuktikan Identitas Trigonometri
Bagaimana cara membuktikan Identitas Trigonometrik?
Untuk membuktikan identitas trigonometri, kita akan menggunakan identitas trigonometri dasar untuk memastikan bahwa kedua sisi persamaan sama satu sama lain.
Soal 1
Jika tan A = (sin θ - cos θ)/(sin θ + cos θ) buktikan bahwa, sin θ + cos θ = ± √2 cos A
Solusi:
Kita ketahui bahwa , sec2 A = 1 + tan2 A
⇒ sec2 A = 1 + (sin θ - cos θ)2/(sin θ + cos θ) 2
⇒ sec2 A = [(sin θ + cos θ) 2 + (sin θ - cos θ) 2]/(sin θ + cos θ) 2
⇒ sec2 A = 2(sin2 θ + cos2 θ)/ (sin θ + cos θ) 2
⇒ 1/cos2 A = 2/(sin θ + cos θ) 2
⇒ (sin θ + cos θ) 2 = 2 cos2
Kedua ruas diakarkan, kita peroleh
sin θ + cos θ = ± √2 cos A (TERBUKTI)
Soal 2
Jika x sin3 θ + y cos3 θ = sin θ cos θ dan x sin θ – y cos θ = 0, buktikan bahwa x2 + y2 = 1, (di mana, sin θ ≠ 0 dan cos θ ≠ 0).
Solusi:
diberikan, x sin θ - y cos θ = 0
⇒ x sin θ = y cos θ
⇒ y cos θ = x sin θ
Sekarang membagi kedua ruas dengan cos θ kita dapatkan,
y = x ∙ (sin θ/cos θ)
selanjutnya, x sin3 θ + y cos3 θ = sin θ cos θ
⇒ x sin3 θ + x ∙ (sin θ/cos θ) ∙ cos3 θ = sin θ cos θ [karena, y = x ∙ (sin θ/cos θ)]
⇒ x sin θ ( sin2 θ + cos2 θ) = sin θ cos θ, [karena, cos θ ≠ 0]
⇒ x sin θ (1) = sin θ cos θ,[karena, sin2 θ + cos2 θ = 0]
⇒ x sin θ = sin θ cos θ
Sekarang membagi kedua ruas dengan sin θ kita dapatkan,
⇒ x = cos θ, [karena, sin θ ≠ 0]
oleh karena itu, y = x ∙ (sin θ/cos θ)
⇒ y = cos θ ∙ (sin θ/cos θ), [kita telah dapatkan x = cos θ]
⇒ y = sin θ
sekarang, x2 + y2 = cos2 θ + sin2 θ = 1.
jadi, x2 + y2 = 1. (TERBUKTI)
Soal 3
Jika 2y cos α = x sin α dan 2x sec α - y csc α = 3, maka buktikan bahwa x2 + 4y2 = 4
Solusi:
Diberikan 2y cos α = x sin α, maka
cos α/x = sin α/2y = (sin2 α + cos2 α)1/2/(x2 + 4y2) = 1/(x2 + 4y2)
oleh karena, cos θ = x/(x2 + 4y2) dan sin θ = 2y/(x2 + 4y2), maka
2x sec α - y csc α = 3
2x(1/cos α) – y (1/sin α) = 3
2x[(x2 + 4y2)/x] – y[(x2 + 4y2)/2y] = 3
3[(x2 + 4y2)1/2]/2 = 3
Atau
x2 + 4y2 = 4 (TERBUKTI)
Rasio Trigonometrik Dasar dan Namanya Batasan-batasan Rasio Trigonometrik Hubungan Timbal Balik dari Rasio Trigonometri Hubungan Hasil Bagi (Quotient) dari Rasio Trigonometrik Batas (Limit) Rasio Trigonometrik Identitas Trigonometri Masalah pada Identitas Trigonometri Eliminasi Rasio Trigonometri Hilangkan sudut di antara persamaan Masalah pada Eliminasi Sudut Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Masalah Perbandingan Trigonometri Membuktikan Identitas Trigonometrik Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0° Perbandingan trigonometri 30° Perbandingan Trigonometrik 45° Perbandingan Trigonometrik 60° Perbandingan trigonometri 900 Tabel Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Masalah pada Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri dari Sudut Komplementer Aturan-aturan Tanda pada Trigonometri Tanda Perbandingan Trigonometri Semua aturan Sin Tan Cos Perbandingan Trigonometri dari (- θ) Perbandingan Trigonometri (90° + θ) Perbandingan Trigonometri (90° - θ) Perbandingan Trigonometri (180° + θ) Perbandingan Trigonometri (180° - θ) Perbandingan Trigonometri (270° + θ) Perbandingan Trigonometri (270° - θ) Perbandingan Trigonometri (360° + θ) Perbandingan Trigonometri (360° - θ) Perbandingan trigonometri dari berbagai sudut Perbandingan trigonometri dari beberapa sudut tertentu Perbandingan Trigonometri suatu Sudut Fungsi Trigonometri dari Berbagai Sudut Masalah pada Perbandingan Trigonometri dari Sudut Masalah pada Tanda Perbandingan Trigonometri
Untuk membuktikan identitas trigonometri, kita akan menggunakan identitas trigonometri dasar untuk memastikan bahwa kedua sisi persamaan sama satu sama lain.
Soal 1
Jika tan A = (sin θ - cos θ)/(sin θ + cos θ) buktikan bahwa, sin θ + cos θ = ± √2 cos A
Solusi:
Kita ketahui bahwa , sec2 A = 1 + tan2 A
⇒ sec2 A = 1 + (sin θ - cos θ)2/(sin θ + cos θ) 2
⇒ sec2 A = [(sin θ + cos θ) 2 + (sin θ - cos θ) 2]/(sin θ + cos θ) 2
⇒ sec2 A = 2(sin2 θ + cos2 θ)/ (sin θ + cos θ) 2
⇒ 1/cos2 A = 2/(sin θ + cos θ) 2
⇒ (sin θ + cos θ) 2 = 2 cos2
Kedua ruas diakarkan, kita peroleh
sin θ + cos θ = ± √2 cos A (TERBUKTI)
Soal 2
Jika x sin3 θ + y cos3 θ = sin θ cos θ dan x sin θ – y cos θ = 0, buktikan bahwa x2 + y2 = 1, (di mana, sin θ ≠ 0 dan cos θ ≠ 0).
Solusi:
diberikan, x sin θ - y cos θ = 0
⇒ x sin θ = y cos θ
⇒ y cos θ = x sin θ
Sekarang membagi kedua ruas dengan cos θ kita dapatkan,
y = x ∙ (sin θ/cos θ)
selanjutnya, x sin3 θ + y cos3 θ = sin θ cos θ
⇒ x sin3 θ + x ∙ (sin θ/cos θ) ∙ cos3 θ = sin θ cos θ [karena, y = x ∙ (sin θ/cos θ)]
⇒ x sin θ ( sin2 θ + cos2 θ) = sin θ cos θ, [karena, cos θ ≠ 0]
⇒ x sin θ (1) = sin θ cos θ,[karena, sin2 θ + cos2 θ = 0]
⇒ x sin θ = sin θ cos θ
Sekarang membagi kedua ruas dengan sin θ kita dapatkan,
⇒ x = cos θ, [karena, sin θ ≠ 0]
oleh karena itu, y = x ∙ (sin θ/cos θ)
⇒ y = cos θ ∙ (sin θ/cos θ), [kita telah dapatkan x = cos θ]
⇒ y = sin θ
sekarang, x2 + y2 = cos2 θ + sin2 θ = 1.
jadi, x2 + y2 = 1. (TERBUKTI)
Soal 3
Jika 2y cos α = x sin α dan 2x sec α - y csc α = 3, maka buktikan bahwa x2 + 4y2 = 4
Solusi:
Diberikan 2y cos α = x sin α, maka
cos α/x = sin α/2y = (sin2 α + cos2 α)1/2/(x2 + 4y2) = 1/(x2 + 4y2)
oleh karena, cos θ = x/(x2 + 4y2) dan sin θ = 2y/(x2 + 4y2), maka
2x sec α - y csc α = 3
2x(1/cos α) – y (1/sin α) = 3
2x[(x2 + 4y2)/x] – y[(x2 + 4y2)/2y] = 3
3[(x2 + 4y2)1/2]/2 = 3
Atau
x2 + 4y2 = 4 (TERBUKTI)
Fungsi Trigonometri
Post a Comment for "Membuktikan Identitas Trigonometri"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!