Nilai umum dan Nilai Pokok dari sin−1 x?

Nilai umum dari sin⁻¹ x?

Berapa besar atau nilai dari sin⁻¹ $\frac{1}{2}$?

Kita tahu bahwa sin (30 °) = $\frac{1}{2}$.

⇒ sin⁻¹ ($\frac{1}{2}$) = 30° atau $\frac{1}{6}$π.

Maka kita bisa tuliskan,

sin θ = sin (π – $\frac{1}{6}$π)

⇒ sin θ = sin ($\frac{5}{6}$π)

⇒ θ = $\frac{5}{6}$π atau 150°

atau untuk sin θ = $\frac{1}{2}$

⇒ sin θ = sin $\frac{1}{6}$π

⇒ sin θ = sin (2π + $\frac{1}{6}$π)

⇒ sin θ = sin ($\frac{13}{6}$π)

⇒ θ = $\frac{13}{6}$π atau 390 °

Oleh karena itu, sin (30°) = sin (150 °) = sin (390°) dan seterusnya, dan, sin (30 °) = sin (150 °) = sin (390°) = $\frac{1}{2}$.

Di bagian lain kita dapat mengatakan bahwa,

sin (30° + n x 360° ) = sin (150° + n x 360°) = $\frac{1}{2}$, dimana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Dan secara umum, jika sin θ = $\frac{1}{2}$ = sin π/6 maka θ = nπ + [–1]ⁿ ($\frac{1}{6}$π),

di mana n = 0 atau bilangan bulat apa pun.

Oleh karena itu, jika sin θ = $\frac{1}{2}$ maka θ = sin^{− 1} $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{6}$π atau $\frac{5}{6}$π atau $\frac{13}{6}$π

Maka secara umum,

sin^{− 1} ($\frac{1}{2}$) = θ = nπ + [–1]ⁿ ($\frac{1}{6}$π)

dan sudut nπ + [–1]ⁿ ($\frac{1}{6}$π) disebut nilai umum dari sin⁻¹ $\frac{1}{2}$.

Nilai numerik terkecil positif atau negatif dari sudut disebut nilai pokok

Dalam hal ini $\frac{1}{6}$π adalah sudut positif terkecil. Oleh karena itu, nilai utama dari sin⁻¹ $\frac{1}{2}$ adalah $\frac{1}{6}$π.

Misalkan sin θ = x dan - 1 ≤ x ≤ 1

x ⇒ sin {nπ + [–1]ⁿ θ}, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, sin⁻¹ x = nπ + [–1]ⁿ θ, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Untuk persamaan di atas, kita dapat mengatakan bahwa sin^{− 1} x mungkin memiliki banyak nilai yang tak terhingga.

Misalkan –$\frac{1}{2}$π ≤ α ≤ $\frac{1}{2}$π, di mana α adalah nilai numerik terkecil positif atau negatif dan memenuhi persamaan sin θ = x maka sudut α disebut nilai pokok dari sin⁻¹ x.

Oleh karena itu, nilai umum dari sin ⁻¹ x adalah nπ + [–1]ⁿ θ, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Nilai utama sin⁻¹ x adalah α, di mana –$\frac{1}{2}$π ≤ α ≤ $\frac{1}{2}$π dan α memenuhi persamaan sin θ = x.

Misalnya, nilai pokok sin⁻¹ $\left (-\frac{\sqrt{3}}{2}  \right )$ adalah –$\frac{1}{3}$π dan nilai umumnya adalah nπ + [–1]ⁿ ∙ (–$\frac{1}{3}$π) = nπ – [–1]ⁿ ∙ ($\frac{1}{3}$π).

Demikian pula, nilai utama sin⁻¹ $\left (\frac{\sqrt{3}}{2}  \right )$ adalah ($\frac{1}{3}$π) dan nilai umumnya adalah

nπ + [–1]ⁿ ($\frac{1}{3}$π) = nπ – [–1]ⁿ ∙ ($\frac{1}{6}$π).

Invers Fungsi Trigonometri

• Nilai Umum dan Pokok sin⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cos⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari tan⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari csc⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari sec⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cot⁻¹ x
• Nilai Pokok Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Umum Invers Fungsi Trigonometri  
• arcsin(x) + arccos(x) = 𝜋/2
• arctan(x) + arccot(x) = 𝜋/2
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )$
• $tan^{-1}x-tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x-y}{1+xy} \right ) $
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y+tan^{-1}z=tan^{-1}\left ( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-xz} \right ) $
• $cot^{-1}x+cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy-1}{y+x} \right ) $
• $cot^{-1}x-cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy+1}{y-x} \right ) $
• $sin^{-1}x+sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$
• $sin^{-1}x-sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})$
• $cos^{-1}x+cos^{-1}y=cos^{-1}(xy-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $cos^{-1}x-cos^{-1}y=cos^{-1}(xy+\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $2sin^{-1}x=sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$
• $2cos^{-1}x=cos^{-1}(2x^2-1)$
• $2tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{2x}{1-x^2} \right )=sin^{-1}\left ( \frac{2x}{1+x^2} \right )=cos^{-1}\left ( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right )$
• $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3)$
• $3cos^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$
• $3tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{3x-x^3}{1-3x^2} \right )$
• Kumpulan Rumus Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Utama Invers Fungsi Trigonometri
• Soal-soal & Pembahasan Invers Fungsi Trigonometri