arctan (x) + arctan (y) = arctan [(x + y)/(1 − xy)]

 

$arctan (x) + arctan (y) = arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$

Kita akan belajar bagaimana membuktikan sifat dari invers fungsi trigonometri  

$arctan (x) + arctan (y) = arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$

(yaitu, $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$ jika x > 0, y > 0 dan xy < 1.

Buktikan bahwa $arctan (x) + arctan (y) = arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$, jika x > 0, y > 0 dan xy < 1.

Bukti:

Misalkan, tan⁻¹ x = α dan tan⁻¹ y = β

Dari tan⁻¹ x = α kita dapatkan,

x = tan α

dan dari tan⁻¹ y = β kita dapatkan,

y = tan β

Sekarang, $tan (\alpha + \beta) = \frac{tan \alpha + tan \beta}{1 - tan \alpha tan \beta}$

$tan (\alpha + \beta) = \frac{x + y}{1 - xy}$

⇒ $\alpha + \beta = tan^{-1}\left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$

⇒ $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$

Oleh karena itu, $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$, jika x > 0, y > 0 dan xy < 1.

Buktikan bahwa $arctan (x) + arctan (y) = \pi +arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$, jika x > 0, y > 0 dan xy > 1.

Dan $arctan (x) + arctan (y) = arctan \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )-\pi$, jika x < 0, y < 0 dan xy > 1.

Bukti:

Jika x > 0, y > 0 sehingga xy > 1, maka $\frac{x + y}{1 - xy}$ positif dan oleh karena itu, $\frac{x + y}{1 - xy}$ adalah sudut positif antara 0° dan 90°.

Demikian pula, jika x < 0, y < 0 sehingga xy > 1, maka $\frac{x + y}{1 - xy}$ positif dan oleh karena itu, tan⁻¹ $tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$ adalah sudut negatif sedangkan tan⁻¹ x + tan⁻¹ y adalah sudut positif sedangkan tan⁻¹ x + tan⁻¹ y adalah sudut non-negatif.

Oleh karena itu, tan⁻¹ x + tan⁻¹ y = π + tan⁻¹ $tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$, jika x > 0, y > 0 dan xy > 1 dan arctan (x) + arctan (y) = arctan $tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$ – π, jika x < 0, y < 0 dan xy > 1.

Contoh soal yang berkaitan dengan $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x + y}{1 - xy}  \right )$ 

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa 4 (2 tan⁻¹ $\frac{1}{3}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{7}$) = π

Jawab:

2 tan⁻¹ $\frac{1}{3}$

= tan⁻¹ $\frac{1}{3}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{3}$

= tan⁻¹ $\left ( \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}.\frac{1}{3}} \right )$

= tan⁻¹ $\frac{3}{4}$

Dan (2 tan⁻¹ $\frac{1}{3}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{7}$) = 4 (tan⁻¹ $\frac{3}{4}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{7}$)

= 4 tan⁻¹ $\left ( \frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}.\frac{1}{7}} \right )$

= 4 tan⁻¹ ($\frac{25}{28}$ x $\frac{28}{25}$)

= 4 tan⁻¹ 1

= 4($\frac{1}{4}$π)

= π (Terbukti)

Contoh Soal 2

 Buktikan bahwa, tan⁻¹ $\frac{1}{4}$ + tan⁻¹ $\frac{2}{9}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{5}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$π.

Jawab:

tan⁻¹ $\frac{1}{4}$ + tan⁻¹ $\frac{2}{9}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{5}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{8}$

= tan⁻¹$\left ( \frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4}.\frac{2}{9}} \right )$ + tan⁻¹$\left ( \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{5}.\frac{1}{8}} \right )$

= tan⁻¹ ($\frac{17}{36}$ x $\frac{36}{34}$) + tan⁻¹ ($\frac{13}{40}$ x $\frac{40}{39}$)

= tan⁻¹ $\frac{1}{2}$ + tan⁻¹ $\frac{1}{3}$

= tan⁻¹$\left ( \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}} \right )$

= tan⁻¹ 1

= $\frac{1}{4}$π  (Terbukti)

Invers Fungsi Trigonometri

• Nilai Umum dan Pokok sin⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cos⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari tan⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari csc⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari sec⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cot⁻¹ x
• Nilai Pokok Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Umum Invers Fungsi Trigonometri  
• arcsin(x) + arccos(x) = 𝜋/2
• arctan(x) + arccot(x) = 𝜋/2
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )$
• $tan^{-1}x-tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x-y}{1+xy} \right ) $
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y+tan^{-1}z=tan^{-1}\left ( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-xz} \right ) $
• $cot^{-1}x+cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy-1}{y+x} \right ) $
• $cot^{-1}x-cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy+1}{y-x} \right ) $
• $sin^{-1}x+sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$
• $sin^{-1}x-sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})$
• $cos^{-1}x+cos^{-1}y=cos^{-1}(xy-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $cos^{-1}x-cos^{-1}y=cos^{-1}(xy+\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $2sin^{-1}x=sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$
• $2cos^{-1}x=cos^{-1}(2x^2-1)$
• $2tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{2x}{1-x^2} \right )=sin^{-1}\left ( \frac{2x}{1+x^2} \right )=cos^{-1}\left ( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right )$
• $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3)$
• $3cos^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$
• $3tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{3x-x^3}{1-3x^2} \right )$
• Kumpulan Rumus Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Utama Invers Fungsi Trigonometri
• Soal-soal & Pembahasan Invers Fungsi Trigonometri