arctan (x) + arctan (y) + arctan (z) = arctan [(x + y + z – xyz)/(1 − xy − yz – zx)]

 

$arctan (x) + arctan (y) + arctan (z) = arctan \left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$ 

Kita akan belajar bagaimana membuktikan sifat dari invers fungsi trigonometri

$arctan (x) + arctan (y) + arctan (z) = arctan \left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$

(yaitu, $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) + tan^{-1} (z) = tan^{-1} \left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$)

Buktikan bahwa, $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) + tan^{-1} (z) = tan^{-1} \left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$

Bukti:

Misalkan, tan⁻¹ x = α, tan⁻¹ y = β dan tan⁻¹γ

Oleh karena itu, tan α = x, tan β = y dan tan γ = z

Kita tahu bahwa,

$tan(\alpha +\beta +\gamma) = \frac{tan\alpha +tan\beta +tan\gamma -tan\alpha tan\beta tan\gamma }{1-tan\alpha tan\beta -tan\beta tan\gamma -tan\gamma tan\alpha }$ 

$tan(\alpha +\beta +\gamma )= \left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$ 

$\alpha +\beta +\gamma = tan^{-1}\left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$ 

atau, $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) + tan^{-1} (z) = tan^{-1} \left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$. Terbukti.

Metode kedua:

Kita dapat membuktikan

$tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) + tan^{-1} (z) = tan^{-1} \left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$ dengan cara lain.

Kita tahu bahwa $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) =tan^{-1}\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )$ 

Oleh karena itu, $tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y)+tan^{-1}z =tan^{-1}\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )+tan^{-1}z$

$tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) + tan^{-1} (z) = tan^{-1}\left (\frac{\frac{x+y}{1-xy}+z}{1-\frac{x+y}{1-xy}.z}  \right )$ 

$tan^{-1} (x) + tan^{-1} (y) + tan^{-1} (z) = tan^{-1} \left (\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx}  \right )$

Invers Fungsi Trigonometri

• Nilai Umum dan Pokok sin⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cos⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari tan⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari csc⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari sec⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cot⁻¹ x
• Nilai Pokok Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Umum Invers Fungsi Trigonometri  
• arcsin(x) + arccos(x) = 𝜋/2
• arctan(x) + arccot(x) = 𝜋/2
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )$
• $tan^{-1}x-tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x-y}{1+xy} \right ) $
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y+tan^{-1}z=tan^{-1}\left ( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-xz} \right ) $
• $cot^{-1}x+cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy-1}{y+x} \right ) $
• $cot^{-1}x-cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy+1}{y-x} \right ) $
• $sin^{-1}x+sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$
• $sin^{-1}x-sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})$
• $cos^{-1}x+cos^{-1}y=cos^{-1}(xy-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $cos^{-1}x-cos^{-1}y=cos^{-1}(xy+\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $2sin^{-1}x=sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$
• $2cos^{-1}x=cos^{-1}(2x^2-1)$
• $2tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{2x}{1-x^2} \right )=sin^{-1}\left ( \frac{2x}{1+x^2} \right )=cos^{-1}\left ( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right )$
• $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3)$
• $3cos^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$
• $3tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{3x-x^3}{1-3x^2} \right )$
• Kumpulan Rumus Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Utama Invers Fungsi Trigonometri
• Soal-soal & Pembahasan Invers Fungsi Trigonometri