arctan (x) - arctan (y) = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

$arctan (x) - arctan (y) = arctan \left (\frac{x - y }{1 + xy}  \right )$

Kita akan belajar bagaimana membuktikan sifat dari invers fungsi trigonometri  

$arctan (x) - arctan (y) = arctan \left (\frac{x - y }{1 + xy}  \right )$

(yaitu, $tan^{-1} (x) - tan^{-1} (y) = tan^{-1} \left (\frac{x - y }{1 + xy}  \right )$)

Bukti:

Misalkan, tan⁻¹ x = α dan tan⁻¹ y = β

Dari tan⁻¹ x = α kita dapatkan,

x = tan α

dan dari tan⁻¹ y = β kita dapatkan,

y = tan β

Sekarang, $tan (\alpha - \beta) = \frac{tan\alpha - tan \beta }{1 + tan \alpha tan \beta}$

$tan (\alpha - \beta) = \frac{x - y }{1 + xy}$

⇒ $\alpha - \beta = tan^{-1}\left (\frac{x - y }{1 + xy}  \right )$

⇒ tan⁻¹ x – tan⁻¹ y = $tan^{-1}\left (\frac{x - y }{1 + xy}  \right )$

Oleh karena itu, tan⁻¹ x – tan⁻¹ y = $tan^{-1}\left (\frac{x - y }{1 + xy}  \right )$

Contoh Soal yang berkaitan dengan $arctan (x) - arctan (y) = arctan \left (\frac{x - y }{1 + xy}  \right )$

Selesaikan fungsi invers trigonometri:

3 tan⁻¹ $\left (\frac{1}{2+\sqrt{3}}  \right )$ – tan⁻¹ $\left (\frac{1}{x}  \right )$ = tan⁻¹ $\frac{1}{3}$

Jawab:

Kita tahu bahwa tan 15 ° = tan (45° - 30°)

⇒ $tan15^0=\frac{tan45^0-tan30^0}{1+tan45^0tan30^0}$

⇒ $tan15^0=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}$

⇒ $tan15^0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

⇒ $tan15^0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

⇒ $tan15^0=\frac{3-1}{4+2\sqrt{3}}$

⇒ $tan15^0=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$

⇒ $tan15^0=tan^{-1}\left ( \frac{1}{2+\sqrt{3}} \right )=15^0  $

⇒ $tan15^0=tan^{-1}\left ( \frac{1}{2+\sqrt{3}} \right )= \frac{\pi }{12} $

Oleh karena itu, dari persamaan yang diberikan kita dapatkan,

3 tan⁻¹ $\left (\frac{1}{2+\sqrt{3}}  \right )$ – tan⁻¹ $\left (\frac{1}{x}  \right )$ = tan⁻¹ $\frac{1}{3}$

⇒ 3($\frac{1}{12}$π) – tan⁻¹ $\frac{1}{x}$ = tan⁻¹ $\frac{1}{3}$

⇒ - tan⁻¹ $\frac{1}{x}$ = tan⁻¹ $\frac{1}{3}$ – $\frac{1}{4}$π

⇒ tan⁻¹ $\frac{1}{x}$ = tan⁻¹ 1 - tan⁻¹ $\frac{1}{3}$ [Karena, $\frac{1}{4}$π = tan⁻¹ 1]

⇒ $tan^{-1}\left ( \frac{1}{x} \right )= tan^{-1}\left (\frac{1-\frac{1}{3}}{1+1.\frac{1}{3}}   \right )$

⇒ tan⁻¹ $\frac{1}{x}$ = tan⁻¹ $\frac{1}{2}$

⇒ $\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{2}$

⇒ x = 2

Oleh karena itu, solusi yang dibutuhkan adalah x = 2.

Invers Fungsi Trigonometri

• Nilai Umum dan Pokok sin⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cos⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari tan⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari csc⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari sec⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cot⁻¹ x
• Nilai Pokok Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Umum Invers Fungsi Trigonometri  
• arcsin(x) + arccos(x) = 𝜋/2
• arctan(x) + arccot(x) = 𝜋/2
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )$
• $tan^{-1}x-tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x-y}{1+xy} \right ) $
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y+tan^{-1}z=tan^{-1}\left ( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-xz} \right ) $
• $cot^{-1}x+cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy-1}{y+x} \right ) $
• $cot^{-1}x-cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy+1}{y-x} \right ) $
• $sin^{-1}x+sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$
• $sin^{-1}x-sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})$
• $cos^{-1}x+cos^{-1}y=cos^{-1}(xy-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $cos^{-1}x-cos^{-1}y=cos^{-1}(xy+\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $2sin^{-1}x=sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$
• $2cos^{-1}x=cos^{-1}(2x^2-1)$
• $2tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{2x}{1-x^2} \right )=sin^{-1}\left ( \frac{2x}{1+x^2} \right )=cos^{-1}\left ( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right )$
• $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3)$
• $3cos^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$
• $3tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{3x-x^3}{1-3x^2} \right )$
• Kumpulan Rumus Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Utama Invers Fungsi Trigonometri
• Soal-soal & Pembahasan Invers Fungsi Trigonometri