arcsin (x) + arcsin (y) = arcsin {(x√(1 – y^2)+ y√(1 – x^2)}

$arcsin(x)+arcsin(y)=arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

Kita akan belajar bagaimana membuktikan sifat dari fungsi trigonometri terbalik 

$arcsin(x)+arcsin(y)=arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

Bukti:

Misalkan, sin⁻¹ x = α dan sin⁻¹ y = β

Dari sin⁻¹ x = α kita dapatkan,

x = sin α

dan dari sin⁻¹ y = β kita dapatkan,

y = sin β

Sekarang, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

⇒ $sin(\alpha +\beta )=sin\alpha \sqrt{1-sin^2\beta}+sin\beta \sqrt{1-sin^2\alpha }$ 

⇒ $sin(\alpha +\beta )= (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

 

Oleh karena itu, 

$\alpha +\beta = sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

atau,

$sin^{-1}x+cos^{-1}x= sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

 

Catatan: Jika x > 0, y > 0 dan x² + y² > 1, maka sin⁻¹ x + sin⁻¹ y dapat berupa sudut lebih dari π/2 sedangkan 

$sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

adalah sudut antara - $\frac{\pi }{2}$ dan $\frac{\pi }{2}$.

Oleh karena itu, 

$sin^{-1}x+cos^{-1}x= \pi -sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa sin⁻¹ $\left ( \frac{3}{5} \right )$  + sin⁻¹ $\left ( \frac{8}{17} \right )$ = sin⁻¹ $\left ( \frac{77}{85} \right )$

Jawab:

Sekarang, kami akan menerapkan rumusnya

$sin^{-1}x+cos^{-1}x= sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

$=sin^{-1}\left ( \frac{3}{5}\sqrt{1-\left ( \frac{8}{17} \right )^2}+\frac{8}{17}\sqrt{1-\left ( \frac{3}{5} \right )^2} \right )$ 

$=sin^{-1}\left ( \frac{3}{5}\times \frac{15}{17}+\frac{8}{17}\times \frac{4}{5} \right )$ 

$=sin^{-1}\left ( \frac{77}{85} \right )$ 

Contoh Soal 2

Tunjukkan bahwa, sin⁻¹ $\left ( \frac{4}{5} \right )$ + sin⁻¹ $\left ( \frac{5}{13} \right )$ + sin⁻¹ $\left ( \frac{16}{65} \right )$ = $\frac{\pi }{2}$ .

Jawab:

Sekarang, kita akan menerapkan rumus 

$sin^{-1}x+cos^{-1}x= sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ 

$=sin^{-1}\left ( \frac{4}{5}\sqrt{1-\left ( \frac{5}{13} \right )^2}+\frac{5}{13}\sqrt{1-\left ( \frac{4}{5} \right )^2} \right )+sin^{-1}\left (\frac{16}{65}  \right )$

$=sin^{-1}\left ( \frac{4}{5}\times \frac{12}{13}+\frac{5}{13}\times \frac{3}{5} \right )+sin^{-1}\left (\frac{16}{65}  \right )$ 

= sin^-1$\left ( \frac{63}{65} \right )$  + sin^-1$\left ( \frac{16}{65} \right )$ 

= sin^-1$\left ( \frac{63}{65} \right )$  + cos^-1$\left ( \frac{63}{65} \right )$ 

= $\frac{\pi }{2}$ ; karena sin⁻¹x + cos⁻¹x = $\frac{\pi }{2}$ 

Invers Fungsi Trigonometri

• Nilai Umum dan Pokok sin⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cos⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari tan⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari csc⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari sec⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cot⁻¹ x
• Nilai Pokok Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Umum Invers Fungsi Trigonometri  
• arcsin(x) + arccos(x) = 𝜋/2
• arctan(x) + arccot(x) = 𝜋/2
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )$
• $tan^{-1}x-tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x-y}{1+xy} \right ) $
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y+tan^{-1}z=tan^{-1}\left ( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-xz} \right ) $
• $cot^{-1}x+cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy-1}{y+x} \right ) $
• $cot^{-1}x-cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy+1}{y-x} \right ) $
• $sin^{-1}x+sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$
• $sin^{-1}x-sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})$
• $cos^{-1}x+cos^{-1}y=cos^{-1}(xy-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $cos^{-1}x-cos^{-1}y=cos^{-1}(xy+\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $2sin^{-1}x=sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$
• $2cos^{-1}x=cos^{-1}(2x^2-1)$
• $2tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{2x}{1-x^2} \right )=sin^{-1}\left ( \frac{2x}{1+x^2} \right )=cos^{-1}\left ( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right )$
• $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3)$
• $3cos^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$
• $3tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{3x-x^3}{1-3x^2} \right )$
• Kumpulan Rumus Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Utama Invers Fungsi Trigonometri
• Soal-soal & Pembahasan Invers Fungsi Trigonometri