arc sin(x) + arc cos(x) = π/2

$arcsin(x)+arccos(y)=\frac{\pi }{2}$

Kita akan belajar bagaimana membuktikan sifat dari invers fungsi trigonometri

$arcsin(x)+arccos(y)=\frac{\pi }{2}$ 

Bukti: Misalkan, sin⁻¹ x = θ

Oleh karena itu, x = sin θ

x = cos ($\frac{1}{2}$π – θ), [Karena, cos ($\frac{1}{2}$π – θ) = sin θ]

⇒ cos⁻¹ x = $\frac{1}{2}$π – θ

⇒ cos⁻¹ x = $\frac{1}{2}$π – sin⁻¹ x, [Karena, θ = sin⁻¹ x]

⇒ sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = $\frac{1}{2}$π

Oleh karena itu, sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = $\frac{1}{2}$π (TERBUKTI)

Contoh diselesaikan pada properti fungsi lingkaran terbalik sin⁻¹ x x + cos⁻¹ x x = $\frac{1}{2}$π.

Contoh Soal 1.

Buktikan bahwa sin⁻¹ $\frac{4}{5}$ + sin⁻¹ $\frac{5}{13}$ + sin⁻¹ $\frac{16}{65}$ = $\frac{1}{2}$π

Jawab:

sin⁻¹ $\frac{4}{5}$ + sin⁻¹ $\frac{5}{13}$ + sin⁻¹ $\frac{16}{65}$

= [sin⁻¹ $\frac{4}{5}$ + sin⁻¹ $\frac{5}{13}$] + sin⁻¹ $\frac{16}{65}$

= sin⁻¹ $\left ( \frac{4}{5}\sqrt{1-\left ( \frac{5}{13} \right )^2}+\frac{5}{13}\sqrt{1-\left ( \frac{4}{5} \right )^2} \right )$ + sin⁻¹ $\frac{16}{65}$

= sin⁻¹ ($\frac{4}{5}$ × $\frac{12}{13}$ + $\frac{5}{13}$ × $\frac{3}{5}$) + sin⁻¹ $\frac{16}{65}$

= sin⁻¹ $\frac{63}{65}$ + sin⁻¹ $\frac{16}{65}$

= cos⁻¹$\sqrt{1-\left ( \frac{63}{65} \right )^2}$ + sin⁻¹$\frac{16}{65}$

= cos⁻¹ $\frac{16}{65}$ + sin⁻¹ $\frac{16}{65}$

= $\frac{1}{2}$π, karena sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = $\frac{1}{2}$π

Oleh karena itu, sin⁻¹ $\frac{4}{5}$ + sin⁻¹ $\frac{5}{13}$ + sin⁻¹ $\frac{16}{65}$ = $\frac{1}{2}$π.

Contoh Soal 2.

Selesaikan persamaan trigonometri: sin⁻¹ $\frac{5}{x}$ + sin⁻¹ $\frac{12}{x}$ = $\frac{1}{2}$π

Jawab

sin⁻¹ $\frac{5}{x}$ + sin⁻¹ $\frac{12}{x}$ = $\frac{1}{2}$π

⇒  sin⁻¹ $\frac{12}{x}$ = $\frac{1}{2}$π – sin⁻¹ $\frac{5}{x}$

[Karena, kita tahu bahwa, sin⁻¹ $\frac{5}{x}$ + cos⁻¹ $\frac{5}{x}$ = $\frac{1}{2}$π]

⇒ sin⁻¹ $\frac{12}{x}$ = cos⁻¹ $\frac{5}{x}$,

⇒ sin⁻¹ $\frac{12}{x}$  = sin⁻¹  $\frac{\sqrt{x^2-25}}{x}$

⇒ $\frac{12}{x}$  = $\frac{\sqrt{x^2-25}}{x}$

⇒ $\sqrt{x^2-25}$ = 12, [dengan x ≠ 0]

⇒ x² - 25 = 144

⇒ x² = 144 + 25

⇒ x² = 169

⇒ x = ± 13

Solusi x = - 13 tidak memenuhi persamaan yang diberikan.

Oleh karena itu solusi yang dibutuhkan adalah x = 13.

Invers Fungsi Trigonometri

• Nilai Umum dan Pokok sin⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cos⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari tan⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari csc⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari sec⁻¹ x
• Nilai Umum dan Pokok dari cot⁻¹ x
• Nilai Pokok Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Umum Invers Fungsi Trigonometri  
• arcsin(x) + arccos(x) = 𝜋/2
• arctan(x) + arccot(x) = 𝜋/2
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x+y}{1-xy} \right )$
• $tan^{-1}x-tan^{-1}y=tan^{-1}\left ( \frac{x-y}{1+xy} \right ) $
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y+tan^{-1}z=tan^{-1}\left ( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-xz} \right ) $
• $cot^{-1}x+cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy-1}{y+x} \right ) $
• $cot^{-1}x-cot^{-1}y=cot^{-1}\left (\frac{xy+1}{y-x} \right ) $
• $sin^{-1}x+sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$
• $sin^{-1}x-sin^{-1}y=sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})$
• $cos^{-1}x+cos^{-1}y=cos^{-1}(xy-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $cos^{-1}x-cos^{-1}y=cos^{-1}(xy+\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})$
• $2sin^{-1}x=sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$
• $2cos^{-1}x=cos^{-1}(2x^2-1)$
• $2tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{2x}{1-x^2} \right )=sin^{-1}\left ( \frac{2x}{1+x^2} \right )=cos^{-1}\left ( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right )$
• $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3)$
• $3cos^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$
• $3tan^{-1}x=tan^{-1}\left ( \frac{3x-x^3}{1-3x^2} \right )$
• Kumpulan Rumus Invers Fungsi Trigonometri  
• Nilai Utama Invers Fungsi Trigonometri
• Soal-soal & Pembahasan Invers Fungsi Trigonometri