Pembuktian Rumus Penjumlahan sin (α + β)

Kita akan belajar selangkah demi selangkah bukti sin rumus sudut majemuk (α + β). Di sini kita akan memperoleh rumus untuk fungsi trigonometri dari penjumlahan dua bilangan real atau sudut dan hasil terkaitnya. Hasil dasar disebut identitas trigonometri.

Perluasan sin (α + β) umumnya disebut rumus penambahan. Dalam bukti geometris dari rumus penambahan kita mengasumsikan bahwa α, β dan (α + β) adalah sudut kemiringan positif. Tetapi formula ini benar untuk nilai positif atau negatif dari α dan β.

Sekarang kita akan membuktikan bahwa, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β; di mana α dan β adalah sudut kemiringan positif dan α + β < 90 °.

Misalkan garis putar OX berputar terhadap O ke arah berlawanan jarum jam. Dari posisi awal ke posisi OX ke posisi akhirnya OY menghasilkan ∠XOY = α.

Sekali lagi, garis yang berputar berputar lebih jauh ke arah yang sama dan mulai dari posisi OY menghasilkan ∠YOZ = β.

Dengan demikian, ∠XOZ = α + β < 90 °.

Kita seharusnya membuktikan bahwa, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Sketsa: Pada garis pembatas dari sudut senyawa (α + β) ambil titik A pada OZ, dan gambarlah AB dan AC secara tegak lurus masing-masing ke OX dan OY. Sekali lagi, dari C menggambar CD tegak lurus dan CE pada OX dan AB masing-masing.

Bukti: Dari segitiga ACE yang kita dapatkan, ∠EAC = 90° - ∠ACE = ∠ECO = alternatif ∠COX = α.
Sekarang, dari segitiga siku-siku AOB kita dapatkan,

sin (α + β) = $\frac{AB}{OA}$
                = $\frac{(AE+EB)}{OA}$
                = $\frac{AE}{OA}$ + $\frac{EB}{OA}$
                = $\frac{AE}{OA}$ + $\frac{CD}{OA}$ 
                = $\frac{AE}{AC}$.$\frac{AC}{OA}$ + $\frac{CD}{OC}$.$\frac{OC}{OA}$
               = cos ∠EAC sin β + sin α cos β
               = sin α cos β + cos α sin β, (karena kita tahu, ∠EAC = α)

Karena itu, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. (TERBUKTI)

Contoh Soal 1:
Tentukan Sin 75°!

Jawab:
Sin 75° = sin (45° + 30°)

= sin 45°cos 30° + cos 45° sin 30⁰

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$

= $\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

Contoh Soal 2
Dari rumus sin (α + β) carilah rumus cos (α + β) dan cos (α - β)!

Jawab:
Kita tahu itu, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β …… .. (i)

Mengganti α dengan (90° + α) di kedua sisi (i) kita dapatkan,

sin (90° + α + β)
= sin {(90° + α) + β} = sin (90° + α) cos β + cos (90° + α) sin β, [Menerapkan rumus sin (α + β)]

⇒ sin {90° + (α + β)} = cos α cos β - sin α sin β, [karena sin (90° + α) = cos α dan cos (90° + α) = - sin α]

⇒ cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β …… .. (ii)

Sekali lagi, mengganti β dengan (-β) di kedua sisi (ii) kita dapatkan,

cos (α - β) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)

⇒ cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β, [karena cos (- β) = cos β dan sin (- β) = - sin β]

Contoh Soal 3:
Jika sin x = $\frac{3}{5}$, cos y = -$\frac{12}{13}$ dan x, y keduanya terletak di kuadran kedua, cari nilai sin (x + y).

Jawab:
Diketahui, sin x = $\frac{3}{5}$, cos y = -$\frac{12}{13}$ dan x, y keduanya terletak di kuadran kedua.

Kita tahu bahwa cos² x = 1 - sin² x = 1 - $\left (\frac{3}{5} \right )^2$ = 1 – $\frac{9}{25}$ = $\frac{16}{25}$

⇒ cos x = ±$\frac{4}{5}$.

Karena x terletak di kuadran kedua, cos x adalah negatif

Karena itu, cos x = -$\frac{4}{5}$.

Juga, sin² y = 1 - cos²y = 1 - $\left (- \frac{12}{13} \right )^2$ = 1 – $\frac{144}{169}$ = $\frac{25}{169}$

⇒ sin y = ± $\frac{5}{13}$

Karena y terletak di kuadran kedua, sin y adalah positif

Karena itu, sin y = $\frac{5}{13}$

Sekarang, sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

                       = $\frac{3}{5}$. $-\frac{12}{13}$ + $-\frac{4}{5}$.$\frac{5}{13}$

                       = -$\frac{36}{65}$– $\frac{20}{65}$

                       = -$\frac{56}{65}$

Contoh Soal 4
Jika msin (α + x) = n sin (α + y), tunjukkan bahwa, tan α = $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$

Jawab:
Diberikan, m sin (α + x) = n sin (α + y)

Oleh karena itu, m (sin α cos x + cos α sin x) = n (sin α cos y + cos α sin y), [Menerapkan rumus sin (α + β)]

m sin α cos x + m cos α sin x = n sin α cos y + n cos α sin y,

atau, m sin α cos x - n sin α cos y = n cos α sin y - m cos α cos x

atau, sin α (m cos x - n cos y) = cos α (n sin y - m sin x)

atau, $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$= $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$.

atau, tan α = $\frac{nsiny -msinx}{mcosx-ncosy}$. Terbukti.

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut