Soal dan Pembahasan Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Kita akan belajar bagaimana menyelesaikan berbagai jenis masalah menggunakan rumus sudut majemuk. Sambil memecahkan masalah, kita perlu mengingat semua rumus rasio trigonometri sudut majemuk dan menggunakan rumus sesuai dengan pertanyaan.

Contoh 1
Jika ABCD adalah segiempat siklik, maka tunjukkan bahwa cos A + cos B + cos C + cos D = 0.

Jawab:

Karena ABCD adalah segiempat siklik,

A + C = π ⇒ C = π - A

B + D = π ⇒ D = π - B

Oleh karena itu, cos A + cos B + cos C + cos D

= cos A + cos B + cos (π - A) + cos (π - B)

= cos A + cos B - cos A - cos B,

[Karena, cos (π - A) = - cos A dan cos (π - B) = - cos B]

= 0

Contoh 2.
Tunjukkan bahwa, cos²A + cos² (120° - A) + cos² (120° + A) = $\frac{3}{2}$

Jawab:
cos²A + cos² (120° - A) + cos² (120° + A)

= cos² A + (cos 12 ° cos A + sin 120° sin A)² + (cos 120° cos A - sin 120° sin A)²

= cos ² A + 2(cos² 120° cos² α + sin² 120° sin²α),

 [karena, (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)]

= cos² A + 2[$\left (- \frac{1}{2} \right )^2$ cos² A + $\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2$ sin² A],

[Karena, cos 120° = cos (2 ∙ 90° - 60°) = - cos 60° = -$\frac{1}{2}$ dan sin 120° = sin (2 ∙ 90° - 60°) = sin 60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$]

= cos² A + 2[$\frac{1}{4}$ cos² A + $\frac{3}{4}$ sin² A]

= $\frac{3}{2}$ (cos² A + sin² A)

= $\frac{3}{2}$. Terbukti.

Contoh 3.
Jika A, B, dan C adalah sudut segitiga, maka buktikan bahwa tan $\frac{1}{2}$A = cot $\frac{1}{2}$(B + C)

Jawab:
Karena A, B, dan C adalah sudut segitiga, A + B + C = π

⇒ B + C = π - A

⇒ $\frac{1}{2}$(B + C) = $\frac{1}{2}$π - $\frac{A}{2}$

Oleh karena itu,

cot $\frac{1}{2}$(B + C) = cot ($\frac{1}{2}$π - $\frac{A}{2}$) = tan $\frac{A}{2}$. Terbukti.

Contoh 4.
Jika tan x - tan y = m dan cot y - cot x = n, buktikan bahwa, $\frac{1}{m}$ + $\frac{1}{n}$ = cot (x - y).

Jawab:
Kita punya, m = tan x - tan y

⇒ m = $\frac{sinx}{cosx}$- $\frac{siny}{cosy}$ = $\frac{sinxcosy-cosxsiny}{cosxcosy}$ 

⇒ m = $\frac{sin(x-y)}{cosxcosy}$ 

Karenanya, $\frac{1}{m}$ = $\frac{cosxcosy}{sin(x-y)}$           (1)

Sekali lagi, n = cot y - cot x = $\frac{cosy}{siny}$ - $\frac{cosx}{sinx}$ = $\frac{sinxcosy-cosxsiny}{sinysinx}$ 

⇒ n = $\frac{sin(x-y)}{sinysinx}$ 

Karenanya, $\frac{1}{n}$ = $\frac{sinysinx}{sin(x-y)}$             (2)

Sekarang, (1) + (2) memberikan,

$\frac{1}{m}$ + $\frac{1}{n}$ = $\frac{cosxcosy+sinysinx}{sin(x-y)}$ = $\frac{cos(x-y)}{sin(x-y)}$  

⇒ $\frac{1}{m}$ + $\frac{1}{n}$ = cot (x - y). Terbukti.

Contoh 5.
Jika $tan\beta=\frac{sin \alpha cos \alpha }{2+cos^2 \alpha}$, buktikan bahwa 3 tan (α - β) = 2 tan α.

Jawab:
Kita memiliki, tan (α - β) = $\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$ 

⇒ $tan(\alpha-\beta)=\frac{\frac{\frac{sin \alpha}{cos \alpha}-sin \alpha cos \alpha}{2+cos^2 \alpha}}{1+\frac{sin \alpha}{cos \alpha}. \frac{sin \alpha cos \alpha}{(2+cos^2 \alpha)}}$

[Karena, tan β = $\frac{sin \alpha cos \alpha}{2+ cos^2 \alpha}$]

= $\frac{2 sin \alpha + sin \alpha cos^2 \alpha - sin \alpha cos^2 \alpha }{2 cos \alpha + cos^3 \alpha + sin^2 \alpha cos \alpha}$

= $\frac{2 sin \alpha }{cos \alpha(2 + cos^2 \alpha + sin^2 \alpha)}$

= $\frac{2 sin \alpha }{3cos \alpha}$

⇒ 3 tan (α - β) = 2 tan α. Terbukti

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut