Pembuktian Rumus Selisih Sudut tan (α - β)

Kita akan belajar selangkah demi selangkah bukti rumus tangen tan (α - β).

Buktikan bahwa $tan(\alpha - \beta)=\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$ 

Bukti:

$tan (\alpha - \beta) = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos(\alpha - \beta)}$

= $\frac{sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta}$ 

[membagi pembilang dan penyebut dengan cos α cos β]

= $\frac{\frac{sin \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta}-\frac{cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}{\frac{cos \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta}+\frac{sin \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}$

= $\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$. Terbukti

Oleh karena itu, tan (α - β) = $\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$

Contoh-contoh terselesaikan menggunakan bukti tan rumus tangen (α - β):

Contoh Soal 1. 

Tentukan nilai tan 15°

Jawab:

tan 15° = tan (45° - 30°)

= $\frac{tan 45^0 - tan 30^0}{1 + tan 45^0 tan 30^0}$

= $\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1. \frac{1}{\sqrt{3}}}$

= $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ 

= $\frac{\left (\sqrt{3}-1  \right )^2}{\left (\sqrt{3}+1  \right )\left ( \sqrt{3}-1  \right )}$

= $\frac{(\sqrt{3})^2-2.\sqrt{3}+1^2}{3-1}$

= $\frac{3+1-2.\sqrt{3}}{2}$

= $\frac{4-2.\sqrt{3}}{2}$

= $2-\sqrt{3}$

Contoh Soal 2.

Buktikan identitasnya: $\frac{cos 10^0- sin10^0}{cos 10^0 + sin 10^0} $ = tan 35°

Jawab:

$\frac{cos 10^0- sin10^0}{cos 10^0 + sin 10^0} $ = $\frac{1- tan10^0}{1 + tan 10^0} $,

(pembagi pembilang dan penyebut dengan cos 10 °) 

= $\frac{tan45^0- tan10^0}{1 + tan45^0tan 10^0}$, (Karena kita tahu itu, tan 45° = 1)

= tan (45° - 10°)

= tan 35°. Terbukti

Contoh Soal 3. 

Jika x - y = $\frac{1}{4}$π, buktikan bahwa $\frac{1 + tanx}{1+tany}$= 2 tan x

Jawab:

Diberikan, x - y = $\frac{1}{4}$π

⇒ tan (x - y) = tan $\frac{1}{4}$π

⇒ $\frac{tanx-tany}{1+tanxtany}$ = 1, [karena tan $\frac{1}{4}$π = 1]

⇒ 1 + tan x tan y = tan x - tan y

⇒ 1 + tan x tan y + tan y = tan x

⇒ 1 + tan x + tan x tan y + tan y = tan x + tan x,

 [Menambahkan tan x ke kedua sisi]

⇒ $\frac{1 + tanx}{1+tany}$ = 2 tan x. Terbukti

Contoh Soal 4. 

Jika tan β = $\frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}$, tunjukkan bahwa tan (α - β) = (1 - n) tan α

Jawab:

$tan(\alpha + \beta)=\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$

= $\frac{\frac{sin \alpha}{cos\alpha} - \frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}}{1 + \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}}$

= $\frac{sin \alpha (1 - nsin^2 \alpha) -nsin \alpha cos^2 \alpha }{cos \alpha (1 - nsin^2 \alpha) + nsin^2 \alpha cos \alpha}$

= $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\frac{(1 - nsin^2 \alpha -n cos^2 \alpha) }{(1 - nsin^2 \alpha + nsin^2 \alpha )}$

= $\left (\frac{sin \alpha}{cos \alpha}  \right )[1-n(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)]$

= tan α ∙ (1 - n ∙ 1),

[karena, kita tahu bahwa sin² θ + cos² θ = 1]

= (1 - n) tan α. Terbukti

Contoh Soal 5. 

Jika tan β = $\frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}$, buktikan bahwa 3 tan (α - β) = 2 tan α.

Jawab:

Kita punya, tan (α - β) = $\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$

⇒ $tan (\alpha - \beta) = \frac{\frac{sin \alpha}{cos \beta} - \frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha }}{1 + \frac{sin\alpha}{cos \alpha} . \frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}}$,

[karena kita tahu itu, tan β = $\frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}$

⇒ tan (α - β) = $\frac{2sin \alpha + sin \alpha cos^2 \alpha - sin \alpha cos^2 \alpha}{2 cos \alpha + cos^3 \alpha + sin^2 \alpha cos \alpha}$ 

⇒ tan (α - β) = $\frac{2 sin \alpha}{cos \alpha (2 + cos^2 \alpha + sin^2 \alpha)}$ 

⇒ tan (α - β) = 2sinα/(cosα (2 + 1)),

[karena kita tahu bahwa cos²θ + sin²θ = 1]

⇒ tan (α - β) = $\frac{2 sin \alpha}{3 cos \alpha}$

⇒ tan (α - β) = 3 tan (α - β)

⇒ tan (α - β) = 2 tan α. Terbukti

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut