Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Widget Atas Posting

Pembuktian Rumus Selisih Sudut tan (α - β)


Kita akan belajar selangkah demi selangkah bukti rumus tangen tan (α - β).

Buktikan bahwa $tan(\alpha - \beta)=\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$ 

Bukti:

$tan (\alpha - \beta) = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos(\alpha - \beta)}$

= $\frac{sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta}$ 

[membagi pembilang dan penyebut dengan cos α cos β]

$\frac{\frac{sin \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta}-\frac{cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}{\frac{cos \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta}+\frac{sin \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}$

$\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$. Terbukti

Oleh karena itu, tan (α - β) = 
$\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$



Contoh-contoh terselesaikan menggunakan bukti tan rumus tangen (α - β):


Contoh Soal 1
Tentukan nilai tan 15°

Jawab:

tan 15° = tan (45° - 30°)

= $\frac{tan 45^0 - tan 30^0}{1 + tan 45^0 tan 30^0}$

= $\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1. \frac{1}{\sqrt{3}}}$

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ 

= $\frac{\left (\sqrt{3}-1  \right )^2}{\left (\sqrt{3}+1  \right )\left ( \sqrt{3}-1  \right )}$

= $\frac{(\sqrt{3})^2-2.\sqrt{3}+1^2}{3-1}$

= $\frac{3+1-2.\sqrt{3}}{2}$

= $\frac{4-2.\sqrt{3}}{2}$

$2-\sqrt{3}$


Contoh Soal 2.
Buktikan identitasnya: $\frac{cos 10^0- sin10^0}{cos 10^0 + sin 10^0} $ = tan 35°

Jawab:

$\frac{cos 10^0- sin10^0}{cos 10^0 + sin 10^0} $ = 
$\frac{1- tan10^0}{1 + tan 10^0} $,

(pembagi pembilang dan penyebut dengan cos 10 °) 

$\frac{tan45^0- tan10^0}{1 + tan45^0tan 10^0}$, (Karena kita tahu itu, tan 45° = 1)

= tan (45° - 10°)

= tan 35°. Terbukti


Contoh Soal 3
Jika x - y = $\frac{1}{4}$π, buktikan bahwa $\frac{1 + tanx}{1+tany}$= 2 tan x

Jawab:

Diberikan, x - y = 
$\frac{1}{4}$π

⇒ tan (x - y) = tan 
$\frac{1}{4}$π

⇒ 
$\frac{tanx-tany}{1+tanxtany}$ = 1, [karena tan $\frac{1}{4}$π = 1]

⇒ 1 + tan x tan y = tan x - tan y

⇒ 1 + tan x tan y + tan y = tan x

⇒ 1 + tan x + tan x tan y + tan y = tan x + tan x,

 [Menambahkan tan x ke kedua sisi]

⇒ $\frac{1 + tanx}{1+tany}$ = 2 tan x. Terbukti


Contoh Soal 4
Jika tan β = $\frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}$, tunjukkan bahwa tan (α - β) = (1 - n) tan α

Jawab:

$tan(\alpha + \beta)=\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$

= $\frac{\frac{sin \alpha}{cos\alpha} - \frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}}{1 + \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\frac{n sin \alpha cos \alpha}{1 - n sin^2 \alpha}}$

= $\frac{sin \alpha (1 - nsin^2 \alpha) -nsin \alpha cos^2 \alpha }{cos \alpha (1 - nsin^2 \alpha) + nsin^2 \alpha cos \alpha}$

= $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\frac{(1 - nsin^2 \alpha -n cos^2 \alpha) }{(1 - nsin^2 \alpha + nsin^2 \alpha )}$

= $\left (\frac{sin \alpha}{cos \alpha}  \right )[1-n(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)]$

= tan α ∙ (1 - n ∙ 1),

[karena, kita tahu bahwa sin2 θ + cos2 θ = 1]

= (1 - n) tan α. Terbukti


Contoh Soal 5
Jika tan β = $\frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}$, buktikan bahwa 3 tan (α - β) = 2 tan α.

Jawab:

Kita punya, tan (α - β) = 
$\frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta}$

⇒ $tan (\alpha - \beta) = \frac{\frac{sin \alpha}{cos \beta} - \frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha }}{1 + \frac{sin\alpha}{cos \alpha} . \frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}}$,

[karena kita tahu itu, tan β = $\frac{sin \alpha cos \alpha}{2 + cos^2 \alpha}$

⇒ tan (α - β) = 
$\frac{2sin \alpha + sin \alpha cos^2 \alpha - sin \alpha cos^2 \alpha}{2 cos \alpha + cos^3 \alpha + sin^2 \alpha cos \alpha}$ 

⇒ tan (α - β) = 
$\frac{2 sin \alpha}{cos \alpha (2 + cos^2 \alpha + sin^2 \alpha)}$ 

⇒ tan (α - β) = 2sinα/(cosα (2 + 1)),

[karena kita tahu bahwa cos2θ + sin2θ = 1]

⇒ tan (α - β) = $\frac{2 sin \alpha}{3 cos \alpha}$

⇒ tan (α - β) = 3 tan (α - β)

tan (α - β) = 2 tan α. Terbukti

Silakan Klik Jika beri Komentar

Post a Comment for "Pembuktian Rumus Selisih Sudut tan (α - β)"