Pembuktian Rumus Pengurangan sin (α - β)

Kita akan mempelajari langkah demi langkah bukti rumus pengurangan sudut (α - β). Di sini kita akan memperoleh rumus untuk fungsi trigonometrik dari perbedaan dua bilangan real atau sudut dan hasil yang terkait. Hasil dasar disebut identitas trigonometri.

Perluasan sin (α - β) umumnya disebut formula pengurangan. Dalam bukti geometris dari rumus pengurangan kita mengasumsikan bahwa α, β adalah sudut kemiringan positif dan α > β. Tetapi formula ini benar untuk nilai positif atau negatif dari α dan β.

Sekarang kita akan membuktikan bahwa, sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β; di mana α dan β adalah sudut kemiringan positif dan α > β.

Biarkan garis putar OX berputar terhadap O ke arah berlawanan jarum jam. Dari posisi awalnya OX ke posisi akhir OY menghasilkan ∠XOY = α.

Sekarang, garis putar berputar lebih jauh ke arah searah jarum jam dan mulai dari posisi OY menghasilkan ∠YOZ = β (yang merupakan < α).
Jadi, ∠XOZ = α - β.

Kita seharusnya membuktikan bahwa, sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

sketsa: Pada garis pembatas dari sudut (α - β) ambil titik A pada OZ dan gambarlah AB dan AC tegak lurus masing-masing ke OX dan OY. Sekali lagi, dari C menggambar CD tegak lurus dan CE pada OX dan menghasilkan BA masing-masing.

Bukti: Dari segitiga ACE yang kita dapatkan, ∠EAC = 90° - ∠ACE = ∠YCE = sesuai ∠XOY = α.
Sekarang, dari segitiga siku-siku AOB kita dapatkan,

sin (α - β) = $\frac{BA}{OA}$
                = $\frac{(BE-EA)}{OA}$
                = $\frac{BE}{OA}$ - $\frac{EA}{OA}$
                = $\frac{CD}{OA}$ - $\frac{EA}{OA}$ 
                = $\frac{CD}{OC}$.$\frac{OC}{OA}$ - $\frac{EA}{AC}$.$\frac{AC}{OA}$
               = sin α cos β - cos ∠CAE sin β
               = sin α cos β - cos α sin β, (karena kita tahu, ∠CAE = α)

Karenanya, sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β. Terbukti

Contoh Soal 1.
Tentukan nilai sin 15°.

Jawab:
sin 15° = sin (45° - 30°)

= sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30°

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$

= $\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

Contoh Soal 2. 

Buktikan bahwa sin (40° + A) cos (10° + A) - cos (40° + A) sin (10° + A) = $\frac{1}{2}$.

Jawab:

sin (40° + A) cos (10° + A) - cos (40° + A) sin (10° + A)

= sin {(40° + A) - (10° + A)}, [Menerapkan rumus sin α cos β - cos α sin β = sin (α - β)]

= sin (40° + A - 10° - A)

= sin 30°

= $\frac{1}{2}$

Contoh Soal 3. 

Sederhanakan: [sin (x − y)/sin x siny] + [sin (y − z)/sin y sin z] + [sin (z − x)/sinz sinx]

Jawab:
Istilah pertama dari ungkapan yang diberikan = sin (x − y)/(sin x sin y)

= (sin x cos y – cos x sin y)/sin x sin y

= sin x cos y sin x sin y – cos x sin y sin x sin y

= cot y - cot x.

Demikian pula, suku kedua = $\frac{sin(y-z)}{siny sinz}$ = cot z - cot y.

Dan istilah ketiga = $\frac{sin (z-x)}{sinz sinx}$ = cot x - cot z.

Karena itu,

[$\frac{sin (x-y)}{sinx siny}$] + [$\frac{sin (y-z)}{siny sinz}$] + [$\frac{sin(z-x)}{sinzsinx}$]

= cot y - cot x + cot z - cot y + cot x - cot z

= 0.

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut