Pembuktian Rumus Pengurangan cos (α - β)

Kita akan mempelajari langkah demi langkah bukti rumus rumus sudut cos (α - β). Di sini kita akan memperoleh rumus untuk fungsi dari perbedaan dua bilangan real atau sudut dan hasil yang terkait. Hasil dasar disebut identitas trigonometri.

Perluasan cos (α - β) umumnya disebut formula pengurangan. Dalam bukti geometris dari rumus pengurangan kita mengasumsikan bahwa α, β adalah sudut akut positif dan α > β. Tetapi formula ini benar untuk nilai positif atau negatif dari α dan β.

Sekarang kita akan membuktikan bahwa, cos (α - β) = cos α cos β - sin α sin β; di mana α dan β adalah sudut kemiringan positif dan α > β.

misalkan garis putar OX berputar terhadap O ke arah berlawanan jarum jam. Dari posisi awalnya OX menghasilkan ∠XOY = α.

Sekarang, garis putar berputar lebih jauh ke arah searah jarum jam dan mulai dari posisi OY menghasilkan ∠YOZ = β (yang merupakan < α).

Jadi, ∠XOZ = α - β.

Kita seharusnya membuktikan bahwa, cos (α - β) = cos α cos β - sin α sin β.

sketsa: Pada garis pembatas dari sudut cos (α - β) ambil titik A pada OZ dan gambarlah AB dan AC tegak lurus masing-masing ke OX dan OY. Sekali lagi, dari C menggambar CD tegak lurus dan CE pada OX dan menghasilkan BA masing-masing

Bukti: Dari segitiga ACE yang kita dapatkan, ∠EAC = 90° - ∠ACE = ∠YCE = sesuai ∠XOY = α.
Sekarang, dari segitiga siku-siku AOB kita dapatkan,
cos (α - β) = $\frac{OB}{OA}$
                = $\frac{(OD+DB)}{OA}$
                = $\frac{OD}{OA}$ + $\frac{DB}{OA}$
                = $\frac{OD}{OA}$ + $\frac{CE}{OA}$ 
                = $\frac{OD}{OC}$.$\frac{OC}{OA}$ + $\frac{CE}{AC}$.$\frac{AC}{OA}$ 
                = cos α cos β + sin ∠CAE sin β
                = cos α cos β + sin α sin β, (karena kita tahu, ∠CAE = α)

Oleh karena itu, cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. Terbukti

Contoh Soal 1.
Tentukan nilai cos 15°.

Jawab:

karena 15° = cos (45 ° - 30 °)

= cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30°

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$.$\frac{1}{2}$

= $\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

Contoh Soal 2. 

Buktikan identitas: sin 63° 32' sin 33°32' + sin 26°28' sin 56°28’ = √3/2

Jawab:
sin 63° 32' sin 33°32' + sin 26°28' sin 56°28’

= sin (90° - 26°28') sin (90° - 56°28') + sin 26°28'sin 56°28'

= cos 26° 28' cos 56° 28' + sin 26°28' sin 56°28'

= cos (56°28 '- 26° 28')

= cos 30°

= $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Terbukti


Contoh Soal 3. 

Buktikan identitasnya:

1 + tan θ ∙ tan $\frac{\theta}{2}$ = sec θ

Jawab:
1 + tan θ. tan $\frac{\theta}{2}$ = 1 + $\frac{sin \theta . sin \frac{\theta}{2}}{cos \theta .cos \frac{ \theta}{2}}$

= $\frac{cos \theta cos \frac{\theta}{2} + sin \theta sin \frac{\theta}{2} }{cos \theta cos \frac{\theta}{2}}$

= $\frac{cos (\theta - \frac{\theta}{2})}{cos \theta .cos \frac{\theta}{2}}$

= $\frac{cos \left (\frac{\theta}{2}  \right )}{cos \theta. cos \left (\frac{\theta}{2}  \right )}$

= $\frac{1}{cos \theta}$ 

= sec θ. Terbukti

Contoh Soal 4. 

Buktikan bahwa cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10° = ½

Jawab:

cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10° = cos (70° - 10°)

= cos 60⁰

= $\frac{1}{2}$  Terbukti

Contoh Soal 5. 

Tentukan nilai maksimum dan minimum 3 cos θ + 4 sin θ + 5.

Jawab:
Misalkan, r cos α = 3 …………… (i) dan r sin α = 4 …………… (ii)

Sekarang kuadratkan persamaan (i) dan (ii) lalu tambahkan

r² cos² α + r² sin² α = 32 + 42

⇒ r² (cos² α + sin² α) = 25

⇒ r² (1) = 25, karena cos² α + sin² α = 1

⇒ r = 5, [Mengambil akar kuadrat di kedua sisi]

Sekarang persamaan (i) dibagi dengan (ii) kita dapatkan,

(r sin α)/(r cos α) = $\frac{4}{3}$

⇒ tan α = $\frac{4}{3}$

Oleh karena itu,

3 cos θ + 4 sin θ + 5 = r cos α cos θ + r sin α sin θ + 5

                                    = 5 cos (θ - α) + 5

karena, -1 ≤ cos (θ - α) ≤ 1

Karenanya, -5 ≤ 5 cos (θ - α) ≤ 5

⇒ -5 + 5 ≤ 5 cos (θ - α) + 5 ≤ 5 + 5

⇒ 0 ≤ 5 cos (θ - α) + 5 ≤ 10

Dari pertidaksamaan ini dengan mudah mengikuti bahwa nilai maksimum dan minimum dari [5 cos (θ - α) + 5] yaitu, (3 cos θ + 4 sin θ + 5) masing-masing adalah 10 dan 0.

Contoh Soal 6.
Buktikan bahwa sin (n + 1) x sin (n + 2) x + cos (n + 1) x cos (n + 2) x = cos x

Jawab:

sin (n + 1) x sin (n + 2) x + cos (n + 1) x cos (n + 2) x

         = cos (n + 2) x cos (n + 1) x + sin (n + 2) x sin (n + 1) x

         = cos {(n + 2) x - (n + 1) x)

         = cos x (Terbukti)

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut