Pembuktian Rumus Penjumlahan tan (α + β)


Kita akan belajar selangkah demi selangkah bukti rumus tangen tan (α + β).

Buktikan bahwa tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ

Bukti:

tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)

= sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ

[membagi pembilang dan penyebut dengan cos α cos β]

sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ

tanα+tanβ1tanαtanβ. Terbukti

Oleh karena itu, tan (α + β) = tanα+tanβ1tanαtanβ


Contoh-contoh terselesaikan menggunakan bukti tan rumus tangen (α + β):


Contoh Soal 1
Tentukan nilai tan 75°!

Jawab:
tan 75° = tan (45° + 30°)

= tan450+tan3001tan450tan300

= 1+1311.13

3+131 

= (3+1)2(3+1)(31)

= (3)2+2.3+1231

= 3+1+2.32

= 4+2.32

2+3


Contoh Soal 2. Buktikan bahwa tan 50° = tan 40° + 2 tan 10°

Jawab:

tan 50° = tan (40° + 10°)

⇒ tan 50° = 
tan400+tan1001tan400tan100

⇒ tan 50°(1 - tan 40°tan 10 °) = tan 40° + tan 10 °

⇒ tan 50° = tan 40° + tan 10° + tan 50° tan 40° tan 10°

⇒ tan 50° = tan 40° + tan 10° + 1 ∙ tan 10°,

[karena tan 50° = tan (90° - 40°) = cot 40° = 
1tan400 ⇒ tan 50° tan 40° = 1]

⇒ tan 50° = tan 40° + 2 tan 10°. Terbukti


Contoh Soal 3
Buktikan bahwa tan (45° + θ) = 1+tanθ1tanθ.

Jawab:
tan (45° + θ) = tan450+tanθ1tan450tanθ

1+tanθ1tanθ 

(Karena kita tahu itu, tan 45° = 1). Terbukti


Contoh Soal 4. Buktikan identitas: tan 71° = cos260+sin260cos260sin260

Jawab:

tan 71° = tan (45° + 26°)

= (tan 45° + tan 26°) 1 – tan 45° tan 26°

= 1+tan2601tan260

1+sin260cos2601sin260cos260

cos260+sin260cos260sin260Terbukti


Contoh Soal 5
Tunjukkan bahwa tan 3x tan 2x tan x = tan 3x - tan 2x - tan x

Jawab:

Kita tahu bahwa 3x = 2x + x

Oleh karena itu, tan 3x = tan (2x + x) = 
tan2x+tanx1tan2xtanx 

⇒ tan 2x + tan x = tan 3x - tan 3x tan 2x tan x

⇒ tan 3x - tan 3x tan x = tan 3x - tan 2x - tan x. Terbukti