Kita akan belajar selangkah demi selangkah bukti rumus tangen tan (α + β).
Buktikan bahwa tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
Bukti:
tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)
= sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ
[membagi pembilang dan penyebut dengan cos α cos β]
= sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ−sinαsinβcosαcosβ
[membagi pembilang dan penyebut dengan cos α cos β]
= sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ−sinαsinβcosαcosβ
= tanα+tanβ1−tanαtanβ. Terbukti
Oleh karena itu, tan (α + β) = tanα+tanβ1−tanαtanβ
Contoh-contoh terselesaikan menggunakan bukti tan rumus tangen (α + β):
Contoh Soal 1.
Tentukan nilai tan 75°!
Jawab:
tan 75° = tan (45° + 30°)
Jawab:
tan 75° = tan (45° + 30°)
= tan450+tan3001−tan450tan300
= 1+1√31−1.1√3
= √3+1√3−1
= 1+1√31−1.1√3
= √3+1√3−1
= (√3+1)2(√3+1)(√3−1)
= (√3)2+2.√3+123−1
= 3+1+2.√32
= 4+2.√32
= 2+√3
Contoh Soal 2. Buktikan bahwa tan 50° = tan 40° + 2 tan 10°
Jawab:
tan 50° = tan (40° + 10°)
⇒ tan 50° = tan400+tan1001−tan400tan100
⇒ tan 50°(1 - tan 40°tan 10 °) = tan 40° + tan 10 °
⇒ tan 50° = tan 40° + tan 10° + tan 50° tan 40° tan 10°
⇒ tan 50° = tan 40° + tan 10° + 1 ∙ tan 10°,
[karena tan 50° = tan (90° - 40°) = cot 40° = 1tan400 ⇒ tan 50° tan 40° = 1]
⇒ tan 50° = tan 40° + 2 tan 10°. Terbukti
Contoh Soal 3.
Buktikan bahwa tan (45° + θ) = 1+tanθ1−tanθ.
Jawab:
tan (45° + θ) = tan450+tanθ1−tan450tanθ
= 1+tanθ1−tanθ
(Karena kita tahu itu, tan 45° = 1). Terbukti
Contoh Soal 4. Buktikan identitas: tan 71° = cos260+sin260cos260−sin260
Jawab:
tan 71° = tan (45° + 26°)
= (tan 45° + tan 26°) 1 – tan 45° tan 26°
= 1+tan2601−tan260
= 1+sin260cos2601−sin260cos260
= cos260+sin260cos260−sin260. Terbukti
Contoh Soal 5.
Tunjukkan bahwa tan 3x tan 2x tan x = tan 3x - tan 2x - tan x
Jawab:
Kita tahu bahwa 3x = 2x + x
Oleh karena itu, tan 3x = tan (2x + x) = tan2x+tanx1−tan2xtanx
Jawab:
Kita tahu bahwa 3x = 2x + x
Oleh karena itu, tan 3x = tan (2x + x) = tan2x+tanx1−tan2xtanx
⇒ tan 2x + tan x = tan 3x - tan 3x tan 2x tan x
⇒ tan 3x - tan 3x tan x = tan 3x - tan 2x - tan x. Terbukti
Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
- Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
- Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
- Pembuktian Identitas sin2 α - sin2 β
- Pembuktian Identitas cos2 α - sin2 β
- Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
- Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
- Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
- Perluasan sin (A + B + C)
- Perluasan sin (A - B + C)
- Perluasan cos (A + B + C)
- Perluasan tan (A + B + C)
- Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
- Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut
- Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut