Pembuktian Rumus Penjumlahan tan (α + β)

Kita akan belajar selangkah demi selangkah bukti rumus tangen tan (α + β).

Buktikan bahwa $tan(\alpha + \beta)=\frac{tan \alpha + tan \beta}{1 - tan \alpha tan \beta}$

Bukti:

$tan (\alpha + \beta) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta)}$

= $\frac{sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta}$

[membagi pembilang dan penyebut dengan cos α cos β]

= $\frac{\frac{sin \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta}+\frac{cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}{\frac{cos \alpha cos \beta}{cos \alpha cos \beta}-\frac{sin \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta}}$

= $\frac{tan \alpha + tan \beta}{1 - tan \alpha tan \beta}$. Terbukti

Oleh karena itu, tan (α + β) = $\frac{tan \alpha + tan \beta}{1 - tan \alpha tan \beta}$

Contoh-contoh terselesaikan menggunakan bukti tan rumus tangen (α + β):

Contoh Soal 1. 

Tentukan nilai tan 75°!

Jawab:
tan 75° = tan (45° + 30°)

= $\frac{tan 45^0 + tan 30^0}{1 - tan 45^0 tan 30^0}$

= $\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1. \frac{1}{\sqrt{3}}}$

= $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ 

= $\frac{\left (\sqrt{3}+1  \right )^2}{\left (\sqrt{3}+1  \right )\left ( \sqrt{3}-1  \right )}$

= $\frac{(\sqrt{3})^2+2.\sqrt{3}+1^2}{3-1}$

= $\frac{3+1+2.\sqrt{3}}{2}$

= $\frac{4+2.\sqrt{3}}{2}$

= $2+\sqrt{3}$

Contoh Soal 2. Buktikan bahwa tan 50° = tan 40° + 2 tan 10°

Jawab:

tan 50° = tan (40° + 10°)

⇒ tan 50° = $\frac{tan 40^0 + tan 10^0}{1-tan 40^0 tan 10^0}$

⇒ tan 50°(1 - tan 40°tan 10 °) = tan 40° + tan 10 °

⇒ tan 50° = tan 40° + tan 10° + tan 50° tan 40° tan 10°

⇒ tan 50° = tan 40° + tan 10° + 1 ∙ tan 10°,

[karena tan 50° = tan (90° - 40°) = cot 40° = $\frac{1}{tan 40^0}$ ⇒ tan 50° tan 40° = 1]

⇒ tan 50° = tan 40° + 2 tan 10°. Terbukti

Contoh Soal 3. 

Buktikan bahwa tan (45° + θ) = $\frac{1 + tan \theta}{1 - tan \theta}$.

Jawab:
tan (45° + θ) = $\frac{tan 45^0 + tan \theta}{1 - tan 45^0 tan \theta}$

= $\frac{1 + tan \theta}{1 - tan \theta}$ 

(Karena kita tahu itu, tan 45° = 1). Terbukti

Contoh Soal 4. Buktikan identitas: tan 71° = $\frac{cos 26^0 + sin 26^0}{cos 26^0 - sin 26^0}$

Jawab:

tan 71° = tan (45° + 26°)

= (tan 45° + tan 26°) 1 – tan 45° tan 26°

= $\frac{1 + tan 26^0}{1 - tan 26^0}$

= $\frac{1 + \frac{sin 26^0}{cos 26^0}}{1 - \frac{sin 26^0}{cos 26^0}}$

= $\frac{cos 26^0 + sin 26^0}{cos 26^0 - sin 26^0}$. Terbukti

Contoh Soal 5. 

Tunjukkan bahwa tan 3x tan 2x tan x = tan 3x - tan 2x - tan x

Jawab:

Kita tahu bahwa 3x = 2x + x

Oleh karena itu, tan 3x = tan (2x + x) = $\frac{tan2x + tanx}{1-tan2xtanx}$ 

⇒ tan 2x + tan x = tan 3x - tan 3x tan 2x tan x

⇒ tan 3x - tan 3x tan x = tan 3x - tan 2x - tan x. Terbukti

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut