Pembuktian Rumus Sudut sin²α - sin²β

Kita akan mempelajari langkah demi langkah bukti rumus sudut majemuk. Kita perlu mengambil bantuan rumus sin (α + β) dan sin (α - β) untuk membuktikan rumus sin² α - sin² β untuk setiap nilai positif atau negatif dari α dan β.

Buktikan bahwa sin (α + β) sin (α - β) = sin² α - sin² β = cos² β - cos² α.

Bukti: sin (α + β) sin (α + β)

= (sin α cos β + cos α sin β) (sin α cos β - cos α sin β); [menerapkan rumus sin(α + β) dan sin (α - β)]

= (sin α cos β)² - (cos α sin β)²

= sin² α cos² β - cos² α sin² β

= sin² α (1 - sin² β) - (1 - sin²α) sin² β; [karena kita tahu, cos² θ = 1 - sin² θ]
        
= sin² α - sin² α sin² β - sin² β + sin² α sin² β

= sin²α - sin²β

= 1 - cos²α - (1 - cos²β); [karena kita tahu, sin²θ = 1 - cos²θ]

= 1 - cos²α - 1 + cos²β

= cos²β - cos²α. Terbukti

Oleh karena itu, sin (α + β) sin (α - β) = sin² α - sin² β = cos² β - cos² α

Contoh-contoh terselesaikan menggunakan bukti rumus sudut majemuk sin² α - sin² β:

Contoh Soal 1: Buktikan bahwa sin² 6x - sin² 4x = sin2x sin 10x.

Jawab:

sin² 6x - sin² 4x = sin (6x + 4x) sin (6x - 4x);

[karena kita tahu sin2 α - sin2 β = sin (α + β) sin (α - β)]

= sin 10x sin 2x. Terbukti

Contoh Soal 2. 

Buktikan bahwa cos² 2x - cos² 6x = sin 4x sin 8x.

Jawab:
cos² 2x - cos² 6x = (1 - sin² 2x) - (1 - sin² 6x), [karena kita tahu cos² θ = 1 - sin² θ]

= 1 - sin² 2x - 1 + sin² 6x

= sin² 6x - sin² 2x

= sin (6x + 2x) sin (6x - 2x), [karena kita tahu sin² α - sin² β = sin (α + β) sin (α - β)]

= sin 8x sin 4x. Terbukti

Contoh Soal 3. 

Evaluasi: sin² ($\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$x) - sin² ($\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$x).

Jawab:

sin² ($\frac{1}{8}$π + $\frac{x}{2}$) - sin² ($\frac{1}{8}$π – $\frac{x}{2}$)

= sin {($\frac{1}{8}$π + $\frac{x}{2}$) + ($\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$x)} sin {($\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$x) - ($\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$x)},

[karena kita tahu sin² α - sin² β = sin (α + β) sin (α - β)]

= sin {$\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$x} sin {$\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$x – $\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$x}

= sin {$\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{8}$π} sin {$\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{2}$x}

= (sin $\frac{1}{4}$π) sin x

= $\frac{sin \theta}{\sqrt{2}}$, [Karena kita tahu sin $\frac{1}{4}$π = $\frac{1}{\sqrt{2}}$]

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut