Pembuktian Rumus Sudut cos²α - sin²β

Kita akan belajar langkah demi langkah bukti rumus sudut majemuk cos² α - sin² β. Kita perlu mengambil bantuan rumus cos (α + β) dan cos (α - β) untuk membuktikan rumus cos²α - sin² β untuk setiap nilai positif atau negatif dari α dan β.

Buktikan bahwa: cos (α + β) cos (α - β) = cos² α - sin² β = cos² β - sin² α.

Bukti: cos (α + β) cos (α - β)

= (cos α cos β - sin α sin β) (cos α cos β + sin α sin β)

= (cos α cos β)² - (sin α sin β)²

= cos² α cos² β - sin² α sin² β

= cos² α (1 - sin² β) - (1 - cos² α) sin² β, [karena kita tahu, cos² θ = 1 - sin² θ]

= cos² α - cos² α sin² β - sin² β + cos² α sin² β

= cos² α - sin² β

= 1 - sin²α - (1 - cos² β), [karena kita tahu, cos² θ = 1 - sin² θ dan sin² θ = 1 - cos² θ]

= 1 - sin² α - 1 + cos² β

= cos² β - sin² α. Terbukti

Karena itu, cos (α + β) cos (α - β) = cos² α - sin² β = cos² β - sin² α

Contoh-contoh yang dipecahkan menggunakan pembuktian rumus sudut majemuk cos²α - sin² β:

Contoh Soal 1. 

Buktikan bahwa: cos² 2x - sin² x = cos x cos 3x.

Jawab:

cos² 2x - sin² x = cos (2x + x) cos (2x - x),

[karena kita tahu cos² α - sin² β = cos (α + β) cos (α - β)]

= cos 3x cos x. Terbukti

Contoh Soal 2. 

Tentukan nilai cos² ($\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$θ) - sin² ($\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$θ).

Jawab:

cos² ($\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$θ) - sin² ($\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$θ)

= cos {($\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$θ) + ($\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$θ)} cos {(π/8 – $\frac{1}{2}$θ) - ($\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$θ)},

[karena kita tahu, cos² α - sin² β = cos (α + β) cos (α - β)]

= cos {$\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$θ + $\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{2}$θ} cos {$\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$θ – $\frac{1}{8}$π – $\frac{1}{2}$θ}

= cos {$\frac{1}{8}$π + $\frac{1}{8}$π} cos {-$\frac{1}{2}$θ – $\frac{1}{2}$θ}

= cos $\frac{1}{4}$π cos (-θ)

= cos $\frac{1}{4}$π cos θ, [karena kita tahu, cos (-θ) = cos θ)

= $\frac{cos \theta}{\sqrt{2}}$ [kita tahu, cos $\frac{1}{4}$π = $\frac{1}{\sqrt{2}}$]

Contoh Soal 3. 

Evaluasi: cos² ($\frac{1}{4}$π + x) - sin² ($\frac{1}{4}$π - x)

Jawab:

cos² ($\frac{1}{4}$π + x) - sin² ($\frac{1}{4}$π - x) = cos {($\frac{1}{4}$π + x) + ($\frac{1}{4}$π - x)} cos {($\frac{1}{4}$π + x) - ($\frac{1}{4}$π - x)},

[karena kita tahu, cos² β - sin² α = cos (α + β)cos (α - β)]

= cos {$\frac{1}{4}$π + x + $\frac{1}{4}$π - x} cos {$\frac{1}{4}$π + x – $\frac{1}{4}$π + x}

= cos {$\frac{1}{4}$π + $\frac{1}{4}$π} cos {x + x}

= cos $\frac{1}{2}$π cos 2x

= 0 ∙ cos 2x, [Karena kita tahu, cos $\frac{1}{2}$π = 0]

= 0

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut