Soal dan Pembahasan Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Kita akan belajar bagaimana memecahkan berbagai jenis masalah pada sudut majemuk menggunakan rumus.

Kita akan melihat langkah-demi-langkah bagaimana menangani perbandingan trigonometri sudut-sudut majemuk dalam berbagai pertanyaan.

Soal 1
Sudut θ dibagi menjadi dua bagian sehingga rasio garis singgung dari bagian tersebut adalah k; jika perbedaan antara bagian-bagian menjadi ф, buktikan bahwa, sin ф = $\left ( \frac{k-1}{k+1} \right )$ sin θ.

Jawab:

Misalkan, α dan β menjadi dua bagian sudut θ.

Karena itu, θ = α + β.

Dengan pertanyaan, θ = α - β. (dengan asumsi α > β)

dan $\frac{tan\alpha }{tan\beta }$ = k

⇒ $\frac{sin\alpha cos\beta }{sin\beta cos\alpha }$ = k/1

⇒ $\frac{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta }{sin\alpha cos\beta -cos\alpha cos\beta}  $ = $\frac{k + 1}{k - 1}$,

⇒ $\frac{sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha - \beta)}$ = $\frac{k + 1}{k - 1}$

⇒ (k + 1)sin ф = (k - 1)sin θ,

[Karena kita tahu bahwa α + β = θ; α + β = ф]

⇒ sin ф = $\left ( \frac{k-1}{k+1} \right )$ sin θ. Terbukti.

Contoh 2.
Jika x + y = z dan tan x = k tan y, maka buktikan bahwa sin (x - y) = $\left ( \frac{k+1}{k-1} \right )$ sin z

Jawab:
Diberikan tan x = k tan y

⇒ $\frac{sin x}{cos c}$= k∙$\frac{sin y}{cos y}$ 

⇒ $\frac{sin x cos y}{cos x siny}$ = $\frac{k}{1}$

⇒ $\frac{sinxcosy + cosxsiny}{sinxcosy-cosxsiny}$= $\frac{k+1}{k - 1}$

⇒ $\frac{sin (x + y)}{sin (x - y)}$= $\frac{k + 1}{k - 1}$

⇒ $\frac{sin z}{sin (x - y)}$ = $\frac{k + 1}{k - 1}$, [Karena x + y = z diberikan]

⇒ sin (x - y) = $\left ( \frac{k+1}{k-1} \right )$ sin z Terbukti.

Contoh 3.
Jika A + B + C = π dan cos A = cos B cos C, tunjukkan bahwa, tan B tan C = 2

Jawab:

A + B + C = π

Oleh karena itu, B + C = π - A

⇒ cos (B + C) = cos (π - A)

⇒ cos B cos C - sin B sin C = - cos A

⇒ cos B cos C + cos B cos C = sin B sin C, [Karena kita tahu, cos A = cos B cos C]

2 cos B cos C = sin B sin C

⇒ tan B tan C = 2 Terbukti.

Catatan: Dalam masalah yang berbeda pada sudut majemuk, kita perlu menggunakan rumus seperti yang diperlukan.

Contoh 4.
Buktikan bahwa cot 2x + tan x = csc 2x

Jawab:
cot 2x + tan x = $\frac{cos2x}{sin2x}$cos + $\frac{sinx}{cosx}$

= $\frac{cos2xcosx+sin2xsinx}{sin2xcosx}$

= $\frac{cos(2x-x)}{sin2xcosx}$

= $\frac{cosx}{sin2xcosx}$ 

= $\frac{1}{sin2x}$

= csc 2x. Terbukti.

Contoh 5.
Jika sin (A + B) + sin (B + C) + cos (C - A) = $\frac{-3}{2}$ tunjukkan bahwa,

sin A + cos B + sin C = 0; cos A + sin B + cos C = 0.

Jawab:

Karena, sin (A + B) + sin (B + C) + cos (C - A) = $\frac{-3}{2}$

Oleh karena itu,

2(sin A cos B + cos A sin B + sin B cos C + cos B sin C + cos C cos A + sin C sin A) = -3

⇒ 2(sin A cos B + cos A sin B + sin B cos C + cos B sin C + cos C cos A + sin C sin A) = -(1 + 1 + 1)

⇒ 2(sin A cos B + cos A sin B + sin B cos C + cos B sin C + cos C cos A + sin C sin A) = - [(sin² A + cos² A) + (sin²B + cos² B) + (sin² C + cos² C)]

⇒ (sin² A + cos² B + sin² C + 2 sin A sin C + 2 sin A cos B + 2 cos B sin C) + (cos² A + sin² B + cos² C + 2 cos A sin B + 2 sin B cos C + 2 cos A cos C) = 0

⇒ (sin A + sin B + sin C)² + (cos A + sin B + cos C)² = 0

Sekarang jumlah kuadrat dari dua kuantitas riil adalah nol jika setiap kuantitas secara terpisah nol.

Karena itu, sin A + cos B + Sin C = 0

dan cos A + sin B + cos C = 0. Terbukti.

Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, dan Cotangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut 

• Pembuktian rumus Penjumlahan sin (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut sin (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cos (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cos (α - β)
• Pembuktian Identitas sin² α - sin² β
• Pembuktian Identitas cos² α - sin² β
• Pembuktian rumus Penjumlahan tan (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut tan (α - β)
• Pembuktian rumus Penjumlahan cot (α + β)
• Pembuktian rumus Selisih Sudut cot (α - β)
• Perluasan sin (A + B + C)
• Perluasan sin (A - B + C)
• Perluasan cos (A + B + C)
• Perluasan tan (A + B + C)
• Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut 
• Soal dan Pembahasan Kumpulan Rumus Penjumlahan dan Selisih Sudut