Invers dari Komposisi Fungsi

1. Pengertian Invers dari suatu Komposisi Fungsi

Misalkan f^-1 dan g^-1 berturut-turut adalah invers fungsi f dan g, maka (g ○ f)^-1 memetakan setiap c ∊ C oleh g^-1 ke b ∊ B, dilanjutkan oleh f^-1 ke a ∊ A, sehingga (g ○ f)^-1 dapat dinyatakan dengan (f^-1 ○ g^-1).

2. Rumus Invers dari suatu Komposisi Fungsi

Teorema:

Jika f, g dan h suatu fungsi dan f^-1, g^-1, dan h^-1 adalah invers fungsi berturut-turut dari fungsi f, g, dan h maka dapat dirumuskan bahwa:

1. (g ○ f)^-1(x) = (f^-1 ○ g^-1)(x)

2. (f ○ g)^-1(x) = (f^-1 ○ g^-1)(x)

3. (h ○ g ○ f)^-1(x) = (f^-1 ○ g^-1 ○ h^-1)(x)

4. (f ○ g ○ h)^-1(x) = (h^-1 ○ g^-1 ○ f^-1)(x)

Berdasarkan rumus-rumus itu dapat diturunkan olerasi komposisi fungsi, sebagai berikut.

1. Jika diketahui g(x) dan (f ○ g)(x) atau (g ○ f)(x), maka

(f ○ g ○ g^-1)(x) = (g^-1 ○ g ○ f)(x) = f(x)

2. Jika diketahui f(x) dan (f ○ g)(x) atau (g ○ f)(x), maka

(f^-1 ○ f ○ g)(x) = (g ○ f ○ f^-1)(x) = g(x)

3. Jika diketahui f(x), g(x), dan (f ○ g ○ h)(x), maka

(f ○ g)^-1(f ○ g ○ h)(x) = h(x)

4. Jika diketahui g(x), h(x), dan (f ○ g ○ h)(x), maka

(f ○ g ○ h)(g ○ h)^-1(x) = f(x)

5. Jika diketahui f(x), h(x), dan (f ○ g ○ h)(x), maka

f^-1((f ○ g ○ h)(h^-1(x))) = g(x)

Contoh Soal 1

Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0 dan g(x) = 15/x untuk x > 0. Jika (f^-1 ○ g^-1)(x) = 1, tentukan nilai x.

Jawab:

f(x) = x + 2 ⇒ f^-1(x) = x – 2

g(x) = 15/x ⇒ g^-1(x) = 15/x

(f^-1 ○ g^-1)(x) = 1

f^-1(g^-1(x)) = 1

f^-1(15/x) = 1

15/x – 2 = 1

x = 5

Contoh Soal 2

Jika f^-1(x) = (x – 1)/5 dan g^-1(x) = ½(3 – x), tentukan (f ○ g)^-1(6).

Jawab:

(f ○ g)^-1(x) = g^-1[(x – 1)/5]

= ½ [3 – (x – 1)/5]

= (16 – x)/10

(f ○ g)^-1(6) = (16 – 6)/10 = 1

Contoh Soal 3

Diberikan f(x) = 4x – 1 dan (f ○ g)(x) = –2x + 3. Carilah g(x).

Jawab:

Strategi 1: tidak menggunakan Invers

(f ○ g)(x) = –2x + 3

f(g(x)) = –2x + 3

4g(x) – 1 = –2x + 3

4g(x) =  –2x + 4

g(x) =  – ½ x + 3

Strategi 2: Menggunakan Invers

f(x) = 4x – 1 ⇒ f^-1(x) = ¼ (x + 1)

g(x) = (f^-1 ○ f ○ g)(x)

= f^-1((f ○ g)(x))

= f^-1(–2x + 3)

= ¼ (–2x + 3 + 1)

=  –½x + 1

KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

1. Domain, Range, dan Kodomain Fungsi

2. Fungsi Aljabar

3. Fungsi Transenden

4. Fungsi Khusus

5. Fungsi Ganjil & Fungsi Genap

6. Fungsi Periodik

7. Sifat-Sifat Fungsi (Sifat Surjektif, Into, Injektif, Bijektif)

8. Fungsi Aljabar

9. Pengertian Komposisi Fungsi

10. Syarat Agar Dua Fungsi dapat Dikomposisikan

11. Komposisi Dua Fungsi atau Lebih

12. Nilai Komposisi Fungsi

13. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

14. Pengertian Invers Suatu Fungsi

15. Menentukan Invers Suatu Fungsi

16. Sifat Grafik Fungsi Invers

17. Menentukan Fungsi f Jika Fungsi g dan g ○ f atau f ○ g Diketahui dengan Menggunakan Invers Fungsi

18. Invers dari Komposisi Fungsi