Menentukan Invers suatu Fungsi

Untuk menentukan invers dari fungsi y = f(x) dapat ditempuh prosedur berikut ini.

a. Nyatakan x sebagai fungsi y, yaitu x = f^-1(y)

b. Ganti y dengan x dan x dengan y, sehingga y = f^-1(x) merupakan invers fungsi dari y = f(x).

Strategi Cerdas:

1. Fungsi linear: f(x) = ax + b ⇒ f^-1(x) = (x – b)/a; a ≠ 0

2. Fungsi pecahan linear : f(x) = (ax + b)/(cx + d); x ≠ –d/c ⇒ f^-1(x) = (–dx + b)/(cx – a); x ≠ a/c

3. Fungsi Irasional: 

4. Fungsi eksponen:  f(x) = a^x ⇒ f^-1(x) = ^alog x; a > 0, a ≠ 1, dan x > 0

5. Fungsi logaritma: f(x) = ^alog x; a > 0, a ≠ 1, dan x > 0 ⇒ f^-1(x) = a^x

Contoh Soal Invers Suatu Fungsi

Contoh 1

Diberikan fungsi yang dirumuskan oleh f(x) = x² + 4.

a. Tentukan domain f agar fungsi f mempunyai invers

b. Tentukan rumus fungsi f^-1(x)

Jawab:

a. Supaya fungsi f(x) = x² + 4 memiliki invers fungsi, maka domainnya dapat ditentukan sebagai berikut:

f(x) = x² + 4 dengan D_f = {x | x ≥ 0, x ∊ R} atau f(x) = x² + 4 dengan D_f = {x|x ≤ 0, x ∊ R}. Dengan domain itu, fungsi f menjadi fungsi bijektif sehingga fungsi ini memiliki fungsi invers.

b. f(x) = x² + 4, D_f = {x|x ≥ 0, x ∊ R}

y = x² + 4

x² = y – 4

x = √(y – 4) (dipilih tanda positif, sebab x ≥ 0)

x = f^-1(y) = √(y – 4)

f^-1(x) = √(x – 4)

Jadi, dengan domain D_f = {x|x ≥ 0, x ∊ R}, maka fungsi f(x) = x² + 4 memiliki fungsi invers f^-1(x) = √(x – 4).

f(x) = x² + 4; D_f = {x|x ≤ 0, x ∊ R}

x² = y – 4

x = –√(y – 4) (dipilih tanda positif, sebab x ≤ 0)

x = f^-1(y) = –√(y – 4)

f^-1(x) = –√(x – 4)

Jadi, dengan domain D_f = {x|x ≤≥ 0, x ∊ R}, maka fungsi f(x) = x² + 4 memiliki fungsi invers

f^-1(x) = –√(x – 4).

Soal 2

Diberikan fungsi f(x) = x/(x – 2)

a. Carilah rumus untuk f^-1(x)

b. Tentukan domain fungsi f(x) dan fungsi f^-1(x).

Jawab:

a. y = x/(x – 2)

xy – 2y = x

xy – x = 2y

x(y – 1) = 2y

x = 2y/(y – 1)

x = f^-1(y) = 2y/(y – 1)

f^-1(x) = 2x/(x – 1)

b. Domain fungsi f(x) adalah D_f = {x|x ≠ 2, x ∊ R}, domain fungsi D_f-1 = {x|x ≠ 1, x ∊ R}

D_f^-1 = {x|x ≠ 1, x ∊ R}

Strategi Smart:

f(x) = (ax + b)/(cx + d) ⇒ f^-1(x) = (–dx + b)/(cx – a)

y = x/(x – 2) ⇒ f^-1(x) = (2x + 0)/(x – 1) = 2x/(x – 1)

Soal 3

Carilah invers setiap fungsi berikut ini.

a. f(x) = 5x – 2

b. 

Jawab:

a. f(x) = 5x – 2

y = 5x – 2

5x = y + 2

x = (y + 2)/5

f^-1(x) = (x + 2)/5

Strategi Smart:

f(x) = ax + b ⇒ f^-1(x) = (x – b)/a

f(x) = 5x – 2 ⇒ f^-1(x) = (x + 2)/5

b. 

y⁴ = 5x + 8

5x = y⁴ – 8

x = (y⁴ – 8)/5

f^-1(x) = (x⁴ – 8)/5

Strategi Smart:

 

 ⇒ f^-1(x) = (x⁴ – 8)/5

Contoh 3

Jika diketahui f(x) = ⁵log x dan g(x) = (x + 3)/(3x – 4), tentukan (f ○ g)^-1(x).

Jawab:

(f ○ g)(x) = ⁵log [(x + 3)/(3x – 4)]

y = ⁵log [(x + 3)/(3x – 4)]

5^y = (x + 3)/(3x – 4)

3x . 5^y = x + 3

3x . 5^y – x = 4 . 5^y + 3

(3. 5^y – 1)x = 4. 5^y + 3

x = (4. 5^y + 3)/(3. 5^y – 1)

(f ○ g)^-1(x) = (4. 5^x + 3)/(3. 5^x – 1)

= (4. 5^x + 3)/(3. 5^x – 1)

Strategi Smart:

(f ○ g)(x) ⇒ (f ○ g)^-1(x) = (g^-1 ○ f^-1)(x)

g^-1(x) = (4x + 3)/(3x – 1) dan f^-1(x) = 5^x

(f ○ g)^-1(x) = (g^-1 ○ f^-1)(x)

= (4. 5^x + 3)/(3. 5^x – 1)

KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

1. Domain, Range, dan Kodomain Fungsi

2. Fungsi Aljabar

3. Fungsi Transenden

4. Fungsi Khusus

5. Fungsi Ganjil & Fungsi Genap

6. Fungsi Periodik

7. Sifat-Sifat Fungsi (Sifat Surjektif, Into, Injektif, Bijektif)

8. Fungsi Aljabar

9. Pengertian Komposisi Fungsi

10. Syarat Agar Dua Fungsi dapat Dikomposisikan

11. Komposisi Dua Fungsi atau Lebih

12. Nilai Komposisi Fungsi

13. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

14. Pengertian Invers Suatu Fungsi

15. Menentukan Invers Suatu Fungsi

16. Sifat Grafik Fungsi Invers

17. Menentukan Fungsi f Jika Fungsi g dan g ○ f atau f ○ g Diketahui dengan Menggunakan Invers Fungsi

18. Invers dari Komposisi Fungsi