Sifat-sifat Komposisi Fungsi

a. Operasi pada komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutiatif:

(f ○ g)(x) ≠ (g ○ f)(x)

b. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif, artinya jika f : A → B, g : B → C, dan h : C → D, maka h ○ g ○ f : A → D, sehingga

(h ○ g ○ f)(x) = (h ○ (g ○ f)(x) = ((h ○ g) ○ f)(x)

Contoh Soal Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Contoh 1

Diberikan f(x) = x + 1, g(x) = x², dan h(x) = 3x. Jika I(x) = x adalah fungsi identitas, tentukan apakah:

a. (f ○ g)(x) = (g ○ f)(x)

b. (h ○ (g ○ f))(x) = (h ○ (g ○ f))(x)

c. (I ○ f)(x) = (f ○ I)(x) = f(x)

Jawab:

a. (f ○ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² + 1

(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)²

Terlihat bahwa (f ○ g)(x) ≠ (g ○ f)(x)

b. Misalkan k(x) = (g ○ f)(x) = g(f(x))

= g(x + 1)

= (x + 1)²

(h ○ (g ○ f)(x) = (h ○ k)(x)

= h(k(x))

= h((x + 1)²)

= 3(x + 1)²

Misalkan p(x) = (h ○ g)(x)

= h(g(x))

= h(x²) = 3x²

((h ○ g) ○ f)(x) = (p ○ f)(x)

= p(x + 1)

= 3(x + 1)²

Terlihat bahwa (h ○ (g ○ f))(x) = (h ○ (g ○ f))(x)

c. (I ○ f)(x) = I(f(x)) = I(x + 1) = x + 1

(f ○ I)(x) = f(I(x)) = f(x) = x + 1

Terlihat bahwa (I ○ f)(x) = (f ○ I)(x) = f(x)

dengan I(x) adalah fungsi identitas

Contoh 2

Jika f(x) = x – 3 dan (g ○ f)(x) = (x + 3)², tentukan nilai g(–2).

Jawab:

Strategi 1:

(g ○ f)(x) = (x + 3)²

g(f(x)) = x² + 6x + 9

g(x – 3) = x² + 6x + 9

g(x – 3) = (x – 3)² + 6x – 9 + 6x + 9

g(x – 3) = (x – 3)² + 12(x – 3) + 36

g(x) = x² + 12x + 36

g(–2) = (–2)² + 12(–2) + 26 = 16

Jadi, nilai g(–2) = 16

Strategi 2:

(g ○ f)(x) = (x + 3)²

g(f(x)) = (x + 3)²

g(x – 3) = (x + 3)²

Misalkan t = x – 3 à x = t + 3, sehingga

g(t) = (t + 3 + 3)²

g(t) = t² + 12t + 36

g(–2) = (–2)² + 12(–2) + 36 = 16

Strategi 3:

(g ○ f)(x) = (x + 3)²

g(f(x)) = (x + 3)²

g(x – 3) = (x + 3)²

g(x) = {(x + 3) + 3}²

g(x) = x² + 12x + 36

g(–2) = (–2)² + 12(–2) + 36 = 16

KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

1. Domain, Range, dan Kodomain Fungsi

2. Fungsi Aljabar

3. Fungsi Transenden

4. Fungsi Khusus

5. Fungsi Ganjil & Fungsi Genap

6. Fungsi Periodik

7. Sifat-Sifat Fungsi (Sifat Surjektif, Into, Injektif, Bijektif)

8. Fungsi Aljabar

9. Pengertian Komposisi Fungsi

10. Syarat Agar Dua Fungsi dapat Dikomposisikan

11. Komposisi Dua Fungsi atau Lebih

12. Nilai Komposisi Fungsi

13. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

14. Pengertian Invers Suatu Fungsi

15. Menentukan Invers Suatu Fungsi

16. Sifat Grafik Fungsi Invers

17. Menentukan Fungsi f Jika Fungsi g dan g ○ f atau f ○ g Diketahui dengan Menggunakan Invers Fungsi

18. Invers dari Komposisi Fungsi