Solusi umum dari Persamaan Trigonometri

 Kita akan belajar bagaimana mencari solusi umum persamaan trigonometri berbagai bentuk menggunakan identitas dan sifat-sifat fungsi trigonometri yang berbeda.

Untuk persamaan trigonometri yang melibatkan pangkat, kita perlu menyelesaikan persamaan tersebut baik dengan menggunakan rumus kuadrat atau dengan memfaktorkan.

Contoh 1. Temukan solusi umum dari persamaan 2 sin³ x - sin x = 1. Maka temukan nilai antara 0° dan 360° yang memenuhi persamaan yang diberikan.

Jawab:

Karena persamaan yang diberikan adalah kuadrat di sin x, kita dapat menyelesaikan sin x baik dengan faktorisasi atau dengan menggunakan rumus kuadrat.

Sekarang, 2 sin³ x - sin x = 1

⇒ 2 sin³ x - sin x - 1 = 0

⇒ 2 sin³ x - 2sin x + sin x - 1 = 0

⇒ 2 sin x (sin x - 1) + 1 (sin x - 1) = 0

⇒ (2 sin x + 1) (sin x - 1) = 0

⇒ Salah satunya, 2 sin x + 1 = 0 atau, sin x - 1 = 0

⇒ sin x = -$\frac{1}{2}$ atau sin x = 1

⇒ sin x = $\frac{7}{6}$π atau sin x = $\frac{1}{2}$π

⇒ x = nπ + (-1)ⁿ $\frac{7}{6}$π atau x = nπ + (-1)ⁿ $\frac{1}{2}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

⇒ x = nπ + (-1)ⁿ $\frac{7}{6}$π ⇒ x = …… .., $\frac{1}{6}$π, $\frac{7}{6}$π, $\frac{11}{6}$π, $\frac{19}{6}$π, …… ..

atau x = nπ + (-1)ⁿ $\frac{1}{2}$π ⇒ x = …… .., $\frac{1}{2}$π, $\frac{5}{2}$π, …… ..

Oleh karena itu solusi dari persamaan yang diberikan antara 0° dan 360° adalah $\frac{1}{2}$π, $\frac{7}{6}$π, $\frac{11}{6}$π, yaitu 90°, 210°, 330°.

Contoh 2. Selesaikan persamaan trigonometri sin³ x + cos³ x = 0 dimana 0 ° < x < 360°

Jawab:

sin³ x + cos³ x = 0

⇒ tan³ x + 1 = 0, membagi kedua sisi dengan cos x

⇒ tan³ x + 1³ = 0

⇒ (tan x + 1) (tan² x - tan x + 1) = 0

Oleh karena itu, tan x + 1 = 0 ………. (i) atau, tan² x - tan θ + 1 = 0 ………. (ii)

Dari (i) kita dapatkan,

tan x = -1

⇒ tan x = tan (-$\frac{1}{4}$π)

⇒ x = nπ – $\frac{1}{4}$π

Dari (ii) kita dapatkan,

tan² x - tan θ + 1 = 0

⇒ tan x = $\frac{1\pm \sqrt{1^2-4.1.1}}{2.1}$

⇒ tan x = $\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2}$

Jelasnya, nilai dari tan x, adalah imajiner; oleh karena itu, tidak ada solusi nyata dari x

Oleh karena itu, solusi umum yang dibutuhkan dari persamaan yang diberikan adalah:

x = nπ – $\frac{1}{4}$π…………. (iii) dimana, n = 0, ± 1, ± 2, ………………….

Sekarang, menempatkan n = 0 di (iii) kita dapatkan, x = - 45 °

Sekarang, menempatkan n = 1 di (iii) kita dapatkan, x = π – $\frac{1}{4}$π = 135 °

Sekarang, menempatkan n = 2 di (iii) kita dapatkan, x = π – $\frac{1}{4}$π = 135 °

Oleh karena itu, solusi dari persamaan sin3 x + cos3 x = 0 dalam 0° < θ < 360° adalah x = 135°, 315°.

Contoh 3. Selesaikan persamaan tan² x = $\frac{1}{3}$ di mana, - π ≤ x ≤ π.

Jawab:

tan²x = $\frac{1}{3}$

⇒ tan x = ± $\frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ tan x = tan (± $\frac{1}{6}$π)

Oleh karena itu, x = nπ ± $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, …………

Jika, n = 0 maka x = ± $\frac{1}{6}$π = $\frac{1}{6}$π atau, - $\frac{1}{6}$π

Jika n = 1 maka x = π ± $\frac{1}{6}$π + $\frac{5}{6}$π atau, - $\frac{7}{6}$π

Jika n = -1 maka x = - π ± $\frac{1}{6}$π = - $\frac{7}{6}$π, - $\frac{5}{6}$π

Oleh karena itu, solusi yang dibutuhkan dalam - π ≤ x ≤ π adalah x = $\frac{1}{6}$π, $\frac{5}{6}$π, - $\frac{1}{6}$π, - $\frac{5}{6}$π.

Persamaan Trigonometri

👉  Solusi umum dari persamaan sin x = ½

👉  Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2

👉  Solusi umum dari persamaan tan x = √3

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0

👉  Solusi Umum Persamaan cos θ = 0

👉  Solusi Umum dari Persamaan tan θ = 0

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin ∝

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 1

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = -1

👉  Solusi Umum dari Persamaan cos θ = cos ∝

👉  Solusi Umum Persamaan cos θ = 1

👉  Solusi Umum dari Persamaan cos θ = -1

👉  Solusi Umum dari Persamaan tan θ = tan ∝

👉  Solusi Umum dari a cos θ + b sin θ = c

👉  Rumus Persamaan Trigonometri

👉  Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus

👉  Solusi umum dari Persamaan Trigonometri

👉  Soal dan pembahasan Persamaan Trigonometri