Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Widget Atas Posting

Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus

Kita akan belajar menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan rumus.

Di sini kita akan menggunakan rumus berikut untuk mendapatkan solusi dari persamaan trigonometri.

(a) Jika sin θ = 0 maka θ = nπ, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(b) Jika cos θ = 0 maka θ = (2n + 1) $\frac{1}{2}$π, dimana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(c) Jika cos θ = cos maka θ = 2nπ ± , di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(d) Jika sin θ = sin maka θ = nπ + (-1)n , di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(e) Jika a cos θ + b sin θ = c maka θ = 2nπ + ± β, di mana cos β = $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, cos $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ dan sin $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….


Contoh 1. Pecahkan tan x + sec x = $\sqrt{3}$. Temukan juga nilai x antara 0° dan 360°.

Jawab:

tan x + sec x = $\sqrt{3}$

 $\frac{sinx}{cosx}$ + $\frac{1}{cosx}$ = $\sqrt{3}$, di mana cos x ≠ 0

sin x + 1 = $\sqrt{3}$ cos x

 $\sqrt{3}$ cos x - sin x = 1,

Persamaan trigonometri ini berbentuk a cos θ + b sin θ = c dimana a = $\sqrt{3}$, b = -1 dan c = 1.

Sekarang membagi kedua sisi dengan $\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}$

 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cos x – $\frac{1}{2}$sin x = $\frac{1}{2}$

cos x cos $\frac{1}{4}$π - sin x sin $\frac{1}{6}$π = cos $\frac{1}{3}$π

cos (x + $\frac{1}{6}$π) = cos $\frac{1}{3}$π

x + $\frac{1}{6}$π = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

x = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Saat kita mengambil tanda minus dengan $\frac{1}{3}$π, kita dapatkan

x = 2nπ – $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π

x = 2nπ – $\frac{1}{2}$π, sehingga cos x = cos (2nπ – $\frac{1}{2}$π) = cos $\frac{1}{2}$π = 0, yang merusak asumsi cos x ≠ 0 (jika tidak, persamaan yang diberikan tidak akan berarti).

Jadi, x = 2nπ + $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

x = 2nπ + $\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. adalah jenderal

solusi dari persamaan yang diberikan tan x + sec x = √3.

Satu-satunya solusi antara 0 ° dan 360 ° adalah x = $\frac{1}{6}$π = 30°


Contoh 2. Tentukan solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - $\sqrt{2}$

Jawab:

sec θ = - $\sqrt{2}$

cos θ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$

cos θ = - cos $\frac{1}{4}$π

cos θ = cos (π – $\frac{1}{4}$π)

cos θ = cos $\frac{3}{4}$π

θ = 2nπ ± $\frac{3}{4}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - $\sqrt{2}$ adalah θ = 2nπ ± $\frac{3}{4}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….


Contoh 3. Selesaikan persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0

Jawab:

2 cos2 x + 3 sin x = 0

2 (1 - sin2 x) + 3 sin x = 0

2 - 2 sin2 x + 3 sin x = 0

2 sin2 x - 3 sin x - 2 = 0

2 sin2 x - 4 sin x + sin x - 2 = 0

2 sin x (sin x - 2) + 1 (sin - 2) = 0

(sin x - 2)(2 sin x + 1) = 0

sin x - 2 = 0 atau 2 sin x + 1 = 0

Tapi sin x - 2 = 0 yaitu, sin x = 2, yang tidak mungkin.

Sekarang bentuk 2 sin x + 1 = 0 yang kita dapatkan

sin x = -$\frac{1}{2}$

sin x = - sin $\frac{1}{6}$π

sin x = sin (π + $\frac{1}{6}$π)

sin x = sin $\frac{7}{6}$π

x = nπ + (1)n $\frac{7}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi untuk persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0 adalah

x = nπ + (1)n $\frac{7}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Catatan: Dalam persamaan trigonometri di atas kita amati bahwa ada lebih dari satu fungsi trigonometri. Jadi, identitas (sin2θ + cos2θ = 1) diperlukan untuk mereduksi persamaan yang diberikan menjadi satu fungsi.


Contoh 4. Temukan solusi umum dari cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

Jawab:

cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

cos x - cos 2x - sin 2x + sin x = 0

(cos x - cos 2x) - (sin 2x - sin x) = 0

2 sin $\frac{3}{2}$x sin $\frac{1}{2}$x - 2 cos $\frac{3}{2}$x sin $\frac{1}{2}$x = 0

sin x/2 (sin $\frac{3}{2}$x - cos $\frac{3}{2}$x) = 0

 Oleh karena itu, sin $\frac{1}{2}$x = 0

 $\frac{1}{2}$x = nπ

x = 2nπ

atau, sin $\frac{3}{2}$x - cos $\frac{3}{2}$x = 0

sin $\frac{3}{2}$x = cos $\frac{3}{2}$x

tan $\frac{3}{2}$x = 1

tan $\frac{3}{2}$x = tan $\frac{1}{4}$π

 $\frac{3}{2}$x = nπ + $\frac{1}{4}$π

x = $\frac{1}{3}$(2nπ + $\frac{1}{2}$π) = (4n + 1) $\frac{1}{6}$π

Oleh karena itu, solusi umum cos x + sin x = cos 2x + sin 2x adalah x = 2nπ dan x = (4n + 1) π/6, Di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ………………… ..


Contoh 5. Temukan penyelesaian umum dari sin 4x cos 2x = cos 5x sin x

Jawab:

sin 4x cos 2x = cos 5x sin x

2 sin 4x cos 2x = 2 cos 5x sin x

sin 6x + sin 2x = sin 6x - sin 4x

sin 2x + sin 4x = 0

2sin 3x cos x = 0

Oleh karena itu, sin 3x = 0 atau, cos x = 0

yaitu, 3x = nπ atau, x = (2n + 1) $\frac{1}{6}$π

x = $\frac{1}{3}$nπ atau, x = (2n + 1)$\frac{1}{6}$ π

Oleh karena itu, solusi umum dari sin 4x cos 2x = cos 5x sin x adalah $\frac{1}{3}$nπ dan x = (2n + 1)$\frac{1}{6}$ π

Persamaan Trigonometri

👉  Solusi umum dari persamaan sin x = ½

👉  Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2

👉  Solusi umum dari persamaan tan x = √3

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0

👉  Solusi Umum Persamaan cos θ = 0

👉  Solusi Umum dari Persamaan tan θ = 0

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin 

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 1

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = -1

👉  Solusi Umum dari Persamaan cos θ = cos 

👉  Solusi Umum Persamaan cos θ = 1

👉  Solusi Umum dari Persamaan cos θ = -1

👉  Solusi Umum dari Persamaan tan θ = tan 

👉  Solusi Umum dari a cos θ + b sin θ = c

👉  Rumus Persamaan Trigonometri

👉  Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus

👉  Solusi umum dari Persamaan Trigonometri

👉  Soal dan pembahasan Persamaan Trigonometri


Silakan Klik Jika beri Komentar

Post a Comment for "Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus"