Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus
Kita akan belajar menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan rumus.
Di sini kita akan menggunakan rumus berikut untuk mendapatkan solusi dari persamaan trigonometri.
(a) Jika sin θ = 0 maka θ = nπ, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
(b) Jika cos θ = 0 maka θ = (2n + 1) $\frac{1}{2}$π, dimana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
(c) Jika cos θ = cos ∝ maka θ = 2nπ ± ∝, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
(d) Jika sin θ = sin ∝ maka θ = nπ + (-1)n ∝, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
(e) Jika a cos θ + b sin θ = c maka θ = 2nπ + ∝ ± β, di mana cos β = $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, cos ∝ = $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ dan sin ∝ = $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Contoh 1. Pecahkan tan x + sec x = $\sqrt{3}$. Temukan juga nilai x antara 0° dan 360°.
Jawab:
tan x + sec x = $\sqrt{3}$
⇒ $\frac{sinx}{cosx}$ + $\frac{1}{cosx}$ = $\sqrt{3}$, di mana cos x ≠ 0
⇒ sin x + 1 = $\sqrt{3}$ cos x
⇒ $\sqrt{3}$ cos x - sin x = 1,
Persamaan trigonometri ini berbentuk a cos θ + b sin θ = c dimana a = $\sqrt{3}$, b = -1 dan c = 1.
⇒ Sekarang membagi kedua sisi dengan $\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}$
⇒ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cos x – $\frac{1}{2}$sin x = $\frac{1}{2}$
⇒ cos x cos $\frac{1}{4}$π - sin x sin $\frac{1}{6}$π = cos $\frac{1}{3}$π
⇒ cos (x + $\frac{1}{6}$π) = cos $\frac{1}{3}$π
⇒ x + $\frac{1}{6}$π = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
⇒ x = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Saat kita mengambil tanda minus dengan $\frac{1}{3}$π, kita dapatkan
x = 2nπ – $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π
⇒ x = 2nπ – $\frac{1}{2}$π, sehingga cos x = cos (2nπ – $\frac{1}{2}$π) = cos $\frac{1}{2}$π = 0, yang merusak asumsi cos x ≠ 0 (jika tidak, persamaan yang diberikan tidak akan berarti).
Jadi, x = 2nπ + $\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{6}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
⇒ x = 2nπ + $\frac{1}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. adalah jenderal
solusi dari persamaan yang diberikan tan x + sec x = √3.
Satu-satunya solusi antara 0 ° dan 360 ° adalah x = $\frac{1}{6}$π = 30°
Contoh 2. Tentukan solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - $\sqrt{2}$
Jawab:
sec θ = - $\sqrt{2}$
⇒ cos θ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$
⇒ cos θ = - cos $\frac{1}{4}$π
⇒ cos θ = cos (π – $\frac{1}{4}$π)
⇒ cos θ = cos $\frac{3}{4}$π
⇒ θ = 2nπ ± $\frac{3}{4}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Oleh karena itu, solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - $\sqrt{2}$ adalah θ = 2nπ ± $\frac{3}{4}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Contoh 3. Selesaikan persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0
Jawab:
2 cos2 x + 3 sin x = 0
⇒ 2 (1 - sin2 x) + 3 sin x = 0
⇒ 2 - 2 sin2 x + 3 sin x = 0
⇒ 2 sin2 x - 3 sin x - 2 = 0
⇒ 2 sin2 x - 4 sin x + sin x - 2 = 0
⇒ 2 sin x (sin x - 2) + 1 (sin - 2) = 0
⇒ (sin x - 2)(2 sin x + 1) = 0
⇒ sin x - 2 = 0 atau 2 sin x + 1 = 0
Tapi sin x - 2 = 0 yaitu, sin x = 2, yang tidak mungkin.
Sekarang bentuk 2 sin x + 1 = 0 yang kita dapatkan
⇒ sin x = -$\frac{1}{2}$
⇒ sin x = - sin $\frac{1}{6}$π
⇒ sin x = sin (π + $\frac{1}{6}$π)
⇒ sin x = sin $\frac{7}{6}$π
⇒ x = nπ + (1)n $\frac{7}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Oleh karena itu, solusi untuk persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0 adalah
x = nπ + (1)n $\frac{7}{6}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Catatan: Dalam persamaan trigonometri di atas kita amati bahwa ada lebih dari satu fungsi trigonometri. Jadi, identitas (sin2θ + cos2θ = 1) diperlukan untuk mereduksi persamaan yang diberikan menjadi satu fungsi.
Contoh 4. Temukan solusi umum dari cos x + sin x = cos 2x + sin 2x
Jawab:
cos x + sin x = cos 2x + sin 2x
⇒cos x - cos 2x - sin 2x + sin x = 0
⇒ (cos x - cos 2x) - (sin 2x - sin x) = 0
⇒ 2 sin $\frac{3}{2}$x sin $\frac{1}{2}$x - 2 cos $\frac{3}{2}$x sin $\frac{1}{2}$x = 0
⇒ sin x/2 (sin $\frac{3}{2}$x - cos $\frac{3}{2}$x) = 0
Oleh karena itu, sin $\frac{1}{2}$x = 0
⇒ $\frac{1}{2}$x = nπ
⇒ x = 2nπ
atau, sin $\frac{3}{2}$x - cos $\frac{3}{2}$x = 0
⇒ sin $\frac{3}{2}$x = cos $\frac{3}{2}$x
⇒ tan $\frac{3}{2}$x = 1
⇒ tan $\frac{3}{2}$x = tan $\frac{1}{4}$π
⇒ $\frac{3}{2}$x = nπ + $\frac{1}{4}$π
⇒ x = $\frac{1}{3}$(2nπ + $\frac{1}{2}$π) = (4n + 1) $\frac{1}{6}$π
Oleh karena itu, solusi umum cos x + sin x = cos 2x + sin 2x adalah x = 2nπ dan x = (4n + 1) π/6, Di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ………………… ..
Contoh 5. Temukan penyelesaian umum dari sin 4x cos 2x = cos 5x sin x
Jawab:
sin 4x cos 2x = cos 5x sin x
⇒ 2 sin 4x cos 2x = 2 cos 5x sin x
⇒ sin 6x + sin 2x = sin 6x - sin 4x
⇒ sin 2x + sin 4x = 0
⇒ 2sin 3x cos x = 0
Oleh karena itu, sin 3x = 0 atau, cos x = 0
yaitu, 3x = nπ atau, x = (2n + 1) $\frac{1}{6}$π
⇒ x = $\frac{1}{3}$nπ atau, x = (2n + 1)$\frac{1}{6}$ π
Oleh karena itu, solusi umum dari sin 4x cos 2x = cos 5x sin x adalah $\frac{1}{3}$nπ dan x = (2n + 1)$\frac{1}{6}$ π
Persamaan Trigonometri
👉 Solusi umum dari persamaan sin x = ½
👉 Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2
👉 Solusi umum dari persamaan tan x = √3
👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0
👉 Solusi Umum Persamaan cos θ = 0
👉 Solusi Umum dari Persamaan tan θ = 0
👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin ∝
👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 1
👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = -1
👉 Solusi Umum dari Persamaan cos θ = cos ∝
👉 Solusi Umum Persamaan cos θ = 1
👉 Solusi Umum dari Persamaan cos θ = -1
👉 Solusi Umum dari Persamaan tan θ = tan ∝
👉 Solusi Umum dari a cos θ + b sin θ = c
👉 Rumus Persamaan Trigonometri
👉 Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus
👉 Solusi umum dari Persamaan Trigonometri
Post a Comment for "Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!