Kita akan belajar menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan rumus.
Di sini kita akan menggunakan rumus berikut untuk mendapatkan solusi dari persamaan trigonometri.
(a) Jika sin θ = 0 maka θ = nπ, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
(b) Jika cos θ = 0 maka θ = (2n + 1) 12π, dimana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
(c) Jika cos θ = cos ∝ maka θ = 2nπ ± ∝, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
(d) Jika sin θ = sin ∝ maka θ = nπ + (-1)n ∝, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
(e) Jika a cos θ + b sin θ = c maka θ = 2nπ + ∝ ± β, di mana cos β = c√a2+b2, cos ∝ = a√a2+b2 dan sin ∝ = b√a2+b2, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Contoh 1. Pecahkan tan x + sec x = √3. Temukan juga nilai x antara 0° dan 360°.
Jawab:
tan x + sec x = √3
⇒ sinxcosx + 1cosx = √3, di mana cos x ≠ 0
⇒ sin x + 1 = √3 cos x
⇒ √3 cos x - sin x = 1,
Persamaan trigonometri ini berbentuk a cos θ + b sin θ = c dimana a = √3, b = -1 dan c = 1.
⇒ Sekarang membagi kedua sisi dengan √(√3)2+12
⇒ √32 cos x – 12sin x = 12
⇒ cos x cos 14π - sin x sin 16π = cos 13π
⇒ cos (x + 16π) = cos 13π
⇒ x + 16π = 2nπ ± 13π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
⇒ x = 2nπ ± 13π – 16π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Saat kita mengambil tanda minus dengan 13π, kita dapatkan
x = 2nπ – 13π – 16π
⇒ x = 2nπ – 12π, sehingga cos x = cos (2nπ – 12π) = cos 12π = 0, yang merusak asumsi cos x ≠ 0 (jika tidak, persamaan yang diberikan tidak akan berarti).
Jadi, x = 2nπ + 13π – 16π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
⇒ x = 2nπ + 16π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. adalah jenderal
solusi dari persamaan yang diberikan tan x + sec x = √3.
Satu-satunya solusi antara 0 ° dan 360 ° adalah x = 16π = 30°
Contoh 2. Tentukan solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - √2
Jawab:
sec θ = - √2
⇒ cos θ = - 1√2
⇒ cos θ = - cos 14π
⇒ cos θ = cos (π – 14π)
⇒ cos θ = cos 34π
⇒ θ = 2nπ ± 34π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Oleh karena itu, solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - √2 adalah θ = 2nπ ± 34π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Contoh 3. Selesaikan persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0
Jawab:
2 cos2 x + 3 sin x = 0
⇒ 2 (1 - sin2 x) + 3 sin x = 0
⇒ 2 - 2 sin2 x + 3 sin x = 0
⇒ 2 sin2 x - 3 sin x - 2 = 0
⇒ 2 sin2 x - 4 sin x + sin x - 2 = 0
⇒ 2 sin x (sin x - 2) + 1 (sin - 2) = 0
⇒ (sin x - 2)(2 sin x + 1) = 0
⇒ sin x - 2 = 0 atau 2 sin x + 1 = 0
Tapi sin x - 2 = 0 yaitu, sin x = 2, yang tidak mungkin.
Sekarang bentuk 2 sin x + 1 = 0 yang kita dapatkan
⇒ sin x = -12
⇒ sin x = - sin 16π
⇒ sin x = sin (π + 16π)
⇒ sin x = sin 76π
⇒ x = nπ + (1)n 76π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Oleh karena itu, solusi untuk persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0 adalah
x = nπ + (1)n 76π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….
Catatan: Dalam persamaan trigonometri di atas kita amati bahwa ada lebih dari satu fungsi trigonometri. Jadi, identitas (sin2θ + cos2θ = 1) diperlukan untuk mereduksi persamaan yang diberikan menjadi satu fungsi.
Contoh 4. Temukan solusi umum dari cos x + sin x = cos 2x + sin 2x
Jawab:
cos x + sin x = cos 2x + sin 2x
⇒cos x - cos 2x - sin 2x + sin x = 0
⇒ (cos x - cos 2x) - (sin 2x - sin x) = 0
⇒ 2 sin 32x sin 12x - 2 cos 32x sin 12x = 0
⇒ sin x/2 (sin 32x - cos 32x) = 0
Oleh karena itu, sin 12x = 0
⇒ 12x = nπ
⇒ x = 2nπ
atau, sin 32x - cos 32x = 0
⇒ sin 32x = cos 32x
⇒ tan 32x = 1
⇒ tan 32x = tan 14π
⇒ 32x = nπ + 14π
⇒ x = 13(2nπ + 12π) = (4n + 1) 16π
Oleh karena itu, solusi umum cos x + sin x = cos 2x + sin 2x adalah x = 2nπ dan x = (4n + 1) π/6, Di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ………………… ..
Contoh 5. Temukan penyelesaian umum dari sin 4x cos 2x = cos 5x sin x
Jawab:
sin 4x cos 2x = cos 5x sin x
⇒ 2 sin 4x cos 2x = 2 cos 5x sin x
⇒ sin 6x + sin 2x = sin 6x - sin 4x
⇒ sin 2x + sin 4x = 0
⇒ 2sin 3x cos x = 0
Oleh karena itu, sin 3x = 0 atau, cos x = 0
yaitu, 3x = nπ atau, x = (2n + 1) 16π
⇒ x = 13nπ atau, x = (2n + 1)16 π
Oleh karena itu, solusi umum dari sin 4x cos 2x = cos 5x sin x adalah 13nπ dan x = (2n + 1)16 π
Persamaan Trigonometri
👉 Solusi umum dari persamaan sin x = ½
👉 Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2
👉 Solusi umum dari persamaan tan x = √3
👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0
👉 Solusi Umum Persamaan cos θ = 0
👉 Solusi Umum dari Persamaan tan θ = 0
👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin ∝
👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 1
👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = -1
👉 Solusi Umum dari Persamaan cos θ = cos ∝
👉 Solusi Umum Persamaan cos θ = 1
👉 Solusi Umum dari Persamaan cos θ = -1
👉 Solusi Umum dari Persamaan tan θ = tan ∝
👉 Solusi Umum dari a cos θ + b sin θ = c
👉 Rumus Persamaan Trigonometri
👉 Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus
👉 Solusi umum dari Persamaan Trigonometri