Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus

Kita akan belajar menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan rumus.

Di sini kita akan menggunakan rumus berikut untuk mendapatkan solusi dari persamaan trigonometri.

(a) Jika sin θ = 0 maka θ = nπ, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(b) Jika cos θ = 0 maka θ = (2n + 1) 12π, dimana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(c) Jika cos θ = cos maka θ = 2nπ ± , di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(d) Jika sin θ = sin maka θ = nπ + (-1)n , di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

(e) Jika a cos θ + b sin θ = c maka θ = 2nπ + ± β, di mana cos β = ca2+b2, cos aa2+b2 dan sin ba2+b2, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….


Contoh 1. Pecahkan tan x + sec x = 3. Temukan juga nilai x antara 0° dan 360°.

Jawab:

tan x + sec x = 3

 sinxcosx + 1cosx = 3, di mana cos x ≠ 0

sin x + 1 = 3 cos x

 3 cos x - sin x = 1,

Persamaan trigonometri ini berbentuk a cos θ + b sin θ = c dimana a = 3, b = -1 dan c = 1.

Sekarang membagi kedua sisi dengan (3)2+12

 32 cos x – 12sin x = 12

cos x cos 14π - sin x sin 16π = cos 13π

cos (x + 16π) = cos 13π

x + 16π = 2nπ ± 13π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

x = 2nπ ± 13π – 16π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Saat kita mengambil tanda minus dengan 13π, kita dapatkan

x = 2nπ – 13π – 16π

x = 2nπ – 12π, sehingga cos x = cos (2nπ – 12π) = cos 12π = 0, yang merusak asumsi cos x ≠ 0 (jika tidak, persamaan yang diberikan tidak akan berarti).

Jadi, x = 2nπ + 13π – 16π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

x = 2nπ + 16π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. adalah jenderal

solusi dari persamaan yang diberikan tan x + sec x = √3.

Satu-satunya solusi antara 0 ° dan 360 ° adalah x = 16π = 30°


Contoh 2. Tentukan solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - 2

Jawab:

sec θ = - 2

cos θ = - 12

cos θ = - cos 14π

cos θ = cos (π – 14π)

cos θ = cos 34π

θ = 2nπ ± 34π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi umum θ yang memenuhi persamaan sec θ = - 2 adalah θ = 2nπ ± 34π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….


Contoh 3. Selesaikan persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0

Jawab:

2 cos2 x + 3 sin x = 0

2 (1 - sin2 x) + 3 sin x = 0

2 - 2 sin2 x + 3 sin x = 0

2 sin2 x - 3 sin x - 2 = 0

2 sin2 x - 4 sin x + sin x - 2 = 0

2 sin x (sin x - 2) + 1 (sin - 2) = 0

(sin x - 2)(2 sin x + 1) = 0

sin x - 2 = 0 atau 2 sin x + 1 = 0

Tapi sin x - 2 = 0 yaitu, sin x = 2, yang tidak mungkin.

Sekarang bentuk 2 sin x + 1 = 0 yang kita dapatkan

sin x = -12

sin x = - sin 16π

sin x = sin (π + 16π)

sin x = sin 76π

x = nπ + (1)n 76π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, solusi untuk persamaan 2 cos2 x + 3 sin x = 0 adalah

x = nπ + (1)n 76π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Catatan: Dalam persamaan trigonometri di atas kita amati bahwa ada lebih dari satu fungsi trigonometri. Jadi, identitas (sin2θ + cos2θ = 1) diperlukan untuk mereduksi persamaan yang diberikan menjadi satu fungsi.


Contoh 4. Temukan solusi umum dari cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

Jawab:

cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

cos x - cos 2x - sin 2x + sin x = 0

(cos x - cos 2x) - (sin 2x - sin x) = 0

2 sin 32x sin 12x - 2 cos 32x sin 12x = 0

sin x/2 (sin 32x - cos 32x) = 0

 Oleh karena itu, sin 12x = 0

 12x = nπ

x = 2nπ

atau, sin 32x - cos 32x = 0

sin 32x = cos 32x

tan 32x = 1

tan 32x = tan 14π

 32x = nπ + 14π

x = 13(2nπ + 12π) = (4n + 1) 16π

Oleh karena itu, solusi umum cos x + sin x = cos 2x + sin 2x adalah x = 2nπ dan x = (4n + 1) π/6, Di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ………………… ..


Contoh 5. Temukan penyelesaian umum dari sin 4x cos 2x = cos 5x sin x

Jawab:

sin 4x cos 2x = cos 5x sin x

2 sin 4x cos 2x = 2 cos 5x sin x

sin 6x + sin 2x = sin 6x - sin 4x

sin 2x + sin 4x = 0

2sin 3x cos x = 0

Oleh karena itu, sin 3x = 0 atau, cos x = 0

yaitu, 3x = nπ atau, x = (2n + 1) 16π

x = 13nπ atau, x = (2n + 1)16 π

Oleh karena itu, solusi umum dari sin 4x cos 2x = cos 5x sin x adalah 13nπ dan x = (2n + 1)16 π

Persamaan Trigonometri

👉  Solusi umum dari persamaan sin x = ½

👉  Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2

👉  Solusi umum dari persamaan tan x = √3

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0

👉  Solusi Umum Persamaan cos θ = 0

👉  Solusi Umum dari Persamaan tan θ = 0

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin 

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 1

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = -1

👉  Solusi Umum dari Persamaan cos θ = cos 

👉  Solusi Umum Persamaan cos θ = 1

👉  Solusi Umum dari Persamaan cos θ = -1

👉  Solusi Umum dari Persamaan tan θ = tan 

👉  Solusi Umum dari a cos θ + b sin θ = c

👉  Rumus Persamaan Trigonometri

👉  Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus

👉  Solusi umum dari Persamaan Trigonometri

👉  Soal dan pembahasan Persamaan Trigonometri