Solusi Umum dari Persamaan tan θ = tan ∝

Bagaimana mencari solusi umum dari persamaan bentuk tan θ = tan ∝?

Buktikan bahwa solusi umum tan θ = tan ∝ diberikan oleh θ = nπ + ∝, n ∈ Z.

Jawab:

Kita punya,

tan θ = tan ∝

⇒ $\frac{sin\theta }{cos\theta }$ - $\frac{sin \alpha }{cos \alpha }$ = 0

⇒ $\frac{sin \theta cos \alpha - cos \theta sin \alpha }{cos\theta cos\alpha }$ = 0

⇒ $\frac{cos(\theta -\alpha ) }{cos\theta cos\alpha }$ = 0

⇒ sin (θ - ∝) = 0

⇒ (θ - ∝) = nπ, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….), [Karena kita tahu bahwa θ = nπ, n ∈ Z adalah umum solusi dari persamaan yang diberikan sin θ = 0]

⇒ θ = nπ + ∝, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, solusi umum dari tan θ = tan ∝ adalah θ = nπ + ∝, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Catatan: Persamaan cot θ = cot ∝ sama dengan tan θ = tan ∝ (karena, cot θ = 1/tan θ dan cot ∝ = 1/tan ∝). Jadi, cot θ = cot ∝ dan tan θ = tan ∝ memiliki solusi umum yang sama.

Oleh karena itu, solusi umum dari cot θ = cot ∝ adalah θ = nπ + ∝, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Contoh 1. Selesaikan persamaan trigonometri tan θ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Jawab:

tan θ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ tan θ = tan $\frac{1}{6}$π

⇒ θ = nπ + $\frac{1}{6}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….), [Karena, kita tahu bahwa solusi umum dari tan θ = tan ∝ adalah θ = nπ + ∝, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)]

Contoh 2. Berapakah solusi umum dari persamaan trigonometri tan x + tan 2x + tan x tan 2x = 1?

Jawab:

tan x + tan 2x + tan x tan 2x = 1

tan x + tan 2x = 1 - tan x tan 2x

$\frac{tanx + tan2x }{1 - tanxtan2x}$ = 1

tan 3x = 1

tan 3x = tan $\frac{1}{4}$π

3x = nπ + $\frac{1}{4}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

x = nπ/3 + $\frac{1}{12}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu, penyelesaian umum persamaan trigonometri tan x + tan 2x + tan x tan 2x = 1 adalah x = $\frac{1}{3}$nπ + $\frac{1}{12}$π, di mana n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Contoh 3. Selesaikan persamaan trigonometri tan 2θ = $\sqrt{3}$

Jawab:

tan 2θ = $\sqrt{3}$

⇒ tan 2θ = tan $\frac{1}{3}$π

⇒ 2θ = nπ + $\frac{1}{3}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….), [Karena, kita tahu bahwa solusi umum dari tan θ = tan ∝ adalah θ = nπ + ∝, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)]

⇒ θ = $\frac{1}{2}$nπ + $\frac{1}{6}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, solusi umum dari tan 2θ = √3 adalah θ = n$\frac{1}{2}$π + $\frac{1}{6}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Contoh 4. Temukan solusi umum dari persamaan trigonometri 2 tan x - cot x + 1 = 0

Jawab:

2 tan x - cot x + 1 = 0

⇒ 2 tan x – $\frac{1}{tanx}$ + 1 = 0

⇒ 2 tan² x + tan x - 1 = 0

⇒ 2 tan² x + 2tan x - tan x - 1 = 0

⇒ 2 tan x (tan x + 1) – 1(tan x + 1) = 0

⇒ (tan x + 1)(2 tan x - 1) = 0

⇒ bisa tan x + 1 = 0 atau, 2 tan x - 1 = 0

⇒ tan x = -1 atau, tan x = $\frac{1}{2}$

⇒ tan x = (−$\frac{1}{4}$π) atau, tan x = tan α, di mana tan α = $\frac{1}{2}$

⇒ x = nπ + (−$\frac{1}{4}$π) atau, x = mπ + α, di mana tan α = $\frac{1}{2}$ dan m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

⇒ x = nπ - ($\frac{1}{4}$π) atau, x = mπ + α, di mana tan α = $\frac{1}{2}$ dan m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….

Oleh karena itu penyelesaian persamaan trigonometri 2 tan x - cot x + 1 = 0 adalah x = nπ - ($\frac{1}{4}$π) dan x = mπ + α, di mana tan α = $\frac{1}{2}$ dan m = 0, ± 1, ± 2, ± 3 , …….

Contoh 5. Selesaikan persamaan trigonometri tan 3θ + 1 = 0

Jawab:

tan 3θ + 1 = 0

tan 3θ = - 1

⇒ tan 3θ = tan (-$\frac{1}{4}$π)

⇒ 3θ = nπ + (-$\frac{1}{4}$π), di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….), [Karena, kita tahu bahwa solusi umum dari tan θ = tan ∝ adalah θ = nπ + ∝, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)]

⇒ θ = n$\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{12}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu, solusi umum dari tan 3θ + 1 = 0 adalah θ = n$\frac{1}{3}$π – $\frac{1}{12}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Persamaan Trigonometri

👉 Solusi umum dari persamaan sin x = ½

👉 Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2

👉 Solusi umum dari persamaan tan x = √3

👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0

👉 Solusi Umum Persamaan cos θ = 0

👉 Solusi Umum dari Persamaan tan θ = 0

👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin ∝

👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 1

👉 Solusi Umum dari Persamaan sin θ = -1