Solusi Umum dari Persamaan cos θ = cos ∝

Bagaimana mencari solusi umum dari persamaan bentuk cos θ = cos ∝?

Buktikan bahwa solusi umum cos θ = cos ∝ diberikan oleh θ = 2nπ ± ∝, n ∈ Z.

Jawab:

Kita punya,

cos θ = cos ∝

⇒ cos θ - cos ∝ = 0

⇒ 2sin $\frac{1}{2}$(θ + ∝)sin $\frac{1}{2}$(θ − ∝) = 0

Oleh karena itu, baik sin $\frac{1}{2}$(θ + ∝) = 0 atau, sin $\frac{1}{2}$(θ − ∝) = 0

Sekarang, dari sin$\frac{1}{2}$ (θ + ∝) = 0 kita dapatkan, $\frac{1}{2}$(θ + ∝) = nπ, n ∈ Z

⇒ θ = 2nπ - ∝, n ∈ Z yaitu, (kelipatan genap π) - ∝ ……………………. (I)

Dan dari sin$\frac{1}{2}$ (θ − ∝) = 0 kita dapatkan,

$\frac{1}{2}$(θ − ∝) = nπ, n ∈ Z

⇒ θ = 2nπ + ∝, m ∈ Z yaitu, (kelipatan genap π) + ∝ ……………………. (Ii)

Sekarang menggabungkan solusi (i) dan (ii) yang kita dapatkan,

θ = 2nπ ± ∝, di mana n ∈ Z.

Oleh karena itu, solusi umum cos θ = cos ∝ adalah θ = 2nπ ± ∝, di mana n ∈ Z.

Catatan: Persamaan sec θ = sec ∝ sama dengan cos θ = cos ∝ (karena, sec θ = $\frac{1}{cos\theta }$ dan sec ∝ = $\frac{1}{cos\alpha  }$). Jadi, sec θ = sec ∝ dan cos θ = cos ∝ memiliki solusi umum yang sama.

Oleh karena itu, solusi umum dari sec θ = secs ∝ adalah θ = 2nπ ± ∝, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Contoh 1. Tentukan nilai umum θ jika cos θ = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Jawab:

cos θ = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ cos θ = - cos $\frac{1}{6}$π

⇒ cos θ = cos (π – $\frac{1}{6}$π)

⇒ cos θ = cos $\frac{5}{6}$π

⇒ θ = 2nπ ± $\frac{5}{6}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Contoh 2. Tentukan nilai umum θ jika cos θ = $\frac{1}{2}$

Jawab:

cos θ = $\frac{1}{2}$

⇒ cos θ = cos $\frac{1}{3}$π

⇒ θ = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π, di mana n ∈ Z (yaitu, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …….)

Oleh karena itu solusi umum cos θ = $\frac{1}{2}$ adalah θ = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π, di mana, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 .....

Contoh 3. Selesaikan untuk x jika 0 ≤ x ≤ $\frac{1}{2}$π, sin x + sin 5x = sin 3x

Jawab:

sin x + sin 5x = sin 3x

⇒ sin 5x + sin x = sin 3x

⇒ 2 sin $\frac{1}{2}$(5x + x) cos $\frac{1}{2}$(5x + x) = sin 3x

⇒ 2 sin 3x cos 2x = sin 3x

⇒ 2 sin 3x cos 2x - sin 3x = 0

⇒ sin 3x (2 cos 2x - 1) = 0

Oleh karena itu, baik sin 3x = 0 atau 2 cos 2x - 1 = 0

Sekarang, dari sin 3x = 0 kita dapatkan,

3x = nπ

⇒ x = n$\frac{1}{3}$π ………… .. (1)

demikian pula, dari 2 cos 2x - 1 = 0 kita dapatkan,

⇒ cos 2x = $\frac{1}{2}$

⇒ cos 2x = cos $\frac{1}{3}$π

Oleh karena itu, 2x = 2nπ ± $\frac{1}{3}$π

⇒ x = nπ ± $\frac{1}{6}$π ………… .. (2)

Sekarang, menempatkan n = 0 di (1) kita dapatkan, x = 0

Sekarang, menempatkan n = 1 di (1) kita dapatkan, x = $\frac{1}{3}$π

Sekarang, menempatkan n = 0 di (2) kita dapatkan, x = ± $\frac{1}{6}$π

Oleh karena itu, solusi yang dibutuhkan dari persamaan yang diberikan dalam 0 ≤ x ≤ $\frac{1}{2}$π adalah: x = 0, $\frac{1}{3}$π, $\frac{1}{6}$π.

Persamaan Trigonometri

👉  Solusi umum dari persamaan sin x = ½

👉  Solusi umum dari persamaan cos x = 1/√2

👉  Solusi umum dari persamaan tan x = √3

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 0

👉  Solusi Umum Persamaan cos θ = 0

👉  Solusi Umum dari Persamaan tan θ = 0

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = sin ∝

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = 1

👉  Solusi Umum dari Persamaan sin θ = -1

👉  Solusi Umum dari Persamaan cos θ = cos ∝

👉  Solusi Umum Persamaan cos θ = 1

👉  Solusi Umum dari Persamaan cos θ = -1

👉  Solusi Umum dari Persamaan tan θ = tan ∝

👉  Solusi Umum dari a cos θ + b sin θ = c

👉  Rumus Persamaan Trigonometri

👉  Persamaan Trigonometri menggunakan Rumus

👉  Solusi umum dari Persamaan Trigonometri

👉  Soal dan pembahasan Persamaan Trigonometri