Pembuktian Rumus Trigonometri sin 3A dalam sin A


Kita akan belajar bagaimana mengekspresikan sudut pandang ganda dari sin 3A dalam sin A.
Fungsi trigonometri dari sin 3A dalam sin A juga dikenal sebagai salah satu rumus sudut ganda.
Jika A adalah angka atau sudut yang kita miliki, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A.

Sekarang kita akan membuktikan formula beberapa sudut di atas langkah demi langkah.

Bukti:
sin 3A = sin (2A + A)

= sin 2A cos A + cos 2A sin A

= 2 sin A cos A ∙ cos A + (1 - 2 sin2 A) sin A

= 2 sin A (1 - sin2 A) + sin A - 2 sin3 A

= 2 sin A - 2 sin3 A + sin A - 2 sin3 A

= 3 sin A - 4 sin3 A

Karena itu, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A


Contoh 1
Buktikan bahwa sin A ∙ sin (600 - A) sin (60 + A) = 
14 sin 3A.

Jawab:

sin A ∙ sin (60° - A) sin (60 ° + A)

= sin A (sin2 60° - sin2 A), [Karena, sin (A + B) sin (A - B) = sin2 A - sin2 B]

= sin A [(32)2 - sin2 A), [Karena kita tahu bahwa sin 60° = 
12]

= sin A (
34 - sin2 A)

14sin A (3 - 4 sin2 A)

14 (3 sin A - 4 sin3 A)

Sekarang terapkan rumus dosa 3A dalam hal A

14 sin 3A. Terbukti


Contoh 2

Jika cos θ = 
1213 tentukan nilai sin 3θ.

Jawab:

Diberikan, cos A = 
1213

Kita tahu bahwa sin2 A + cos2 A = 1

⇒ sin2 A = 1 - cos2A

⇒ sin A = 1cos2A

Karena itu, sin A = 1(1213)2

⇒ sin A = 1(144169)

⇒ sin A = 25169

⇒ sin A = 
513

Sekarang, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A

= 3 ∙ 
513 - 4 ∙ (513)3

1513 - 5002199

(2535500)2199 

20352199


Contoh 3
Tunjukkan bahwa, sin3 A + sin3 (120° + A) + sin3 (240° + A) = - 
34 sin 3A.

Jawab:
sin3 A + sin3 (120° + A) + sin3 (240° + A)

14 [4 sin3 A + 4 sin3 (120° + A) + 4 sin3 (240° + A)]

14 [3 sin A - sin 3A + 3 sin (120° + A) - sin 3 (120° + A) + 3 sin (240° + A) - sin 3 (240° + A)]

[Karena kita tahu itu, sin 3A = 3 sin 3A - 4 sin3 A ⇒ 4 sin3 A = 3 sin A - sin 3A]

14 [3 {sin A + sin (120 ° + A) + sin (240 ° + A)} - {sin 3A + sin (360 ° + 3A) + sin (720 ° + 3A)}]

14 [3 {sin A + 2 sin (180 ° + A) cos 60 °) - (sin 3A + sin 3A + sin 3A)}

14 [3 {sin A + 2 ∙ (- sin A) ∙ 12} - 3 sin A]

14 [3 {sin A - sin A} - 3 sin A]

= - 
34 sin 3A. Terbukti