Pembuktian Rumus Trigonometri sin 3A dalam sin A

Kita akan belajar bagaimana mengekspresikan sudut pandang ganda dari sin 3A dalam sin A.
Fungsi trigonometri dari sin 3A dalam sin A juga dikenal sebagai salah satu rumus sudut ganda.
Jika A adalah angka atau sudut yang kita miliki, sin 3A = 3 sin A - 4 sin³ A.

Sekarang kita akan membuktikan formula beberapa sudut di atas langkah demi langkah.

Bukti:
sin 3A = sin (2A + A)

= sin 2A cos A + cos 2A sin A

= 2 sin A cos A ∙ cos A + (1 - 2 sin² A) sin A

= 2 sin A (1 - sin² A) + sin A - 2 sin³ A

= 2 sin A - 2 sin³ A + sin A - 2 sin³ A

= 3 sin A - 4 sin³ A

Karena itu, sin 3A = 3 sin A - 4 sin³ A

Contoh 1
Buktikan bahwa sin A ∙ sin (60⁰ - A) sin (60 + A) = $\frac{1}{4}$ sin 3A.

Jawab:

sin A ∙ sin (60° - A) sin (60 ° + A)

= sin A (sin² 60° - sin² A), [Karena, sin (A + B) sin (A - B) = sin² A - sin² B]

= sin A [$\left (\frac{\sqrt{3}}{2}  \right )^2$ - sin² A), [Karena kita tahu bahwa sin 60° = $\frac{1}{2}$]

= sin A ($\frac{3}{4}$ - sin² A)

= $\frac{1}{4}$sin A (3 - 4 sin² A)

= $\frac{1}{4}$ (3 sin A - 4 sin³ A)

Sekarang terapkan rumus dosa 3A dalam hal A

= $\frac{1}{4}$ sin 3A. Terbukti

Contoh 2

Jika cos θ = $\frac{12}{13}$ tentukan nilai sin 3θ.

Jawab:

Diberikan, cos A = $\frac{12}{13}$

Kita tahu bahwa sin² A + cos² A = 1

⇒ sin² A = 1 - cos²A

⇒ sin A = $\sqrt{1-cos^2A}$

Karena itu, sin A = $\sqrt{1-\left ( \frac{12}{13} \right )^2}$

⇒ sin A = $\sqrt{1-\left ( \frac{144}{169} \right )}$

⇒ sin A = $\sqrt{\frac{25}{169}}$

⇒ sin A = $\frac{5}{13}$

Sekarang, sin 3A = 3 sin A - 4 sin³ A

= 3 ∙ $\frac{5}{13}$ - 4 ∙ $\left ( \frac{5}{13} \right )^3$

= $\frac{15}{13}$ - $\frac{500}{2199}$

= $\frac{(2535-500)}{2199}$ 

= $\frac{2035}{2199}$

Contoh 3
Tunjukkan bahwa, sin³ A + sin³ (120° + A) + sin³ (240° + A) = - $\frac{3}{4}$ sin 3A.

Jawab:
sin³ A + sin³ (120° + A) + sin³ (240° + A)

= $\frac{1}{4}$ [4 sin³ A + 4 sin³ (120° + A) + 4 sin³ (240° + A)]

= $\frac{1}{4}$ [3 sin A - sin 3A + 3 sin (120° + A) - sin 3 (120° + A) + 3 sin (240° + A) - sin 3 (240° + A)]

[Karena kita tahu itu, sin 3A = 3 sin 3A - 4 sin³ A ⇒ 4 sin³ A = 3 sin A - sin 3A]

= $\frac{1}{4}$ [3 {sin A + sin (120 ° + A) + sin (240 ° + A)} - {sin 3A + sin (360 ° + 3A) + sin (720 ° + 3A)}]

= $\frac{1}{4}$ [3 {sin A + 2 sin (180 ° + A) cos 60 °) - (sin 3A + sin 3A + sin 3A)}

= $\frac{1}{4}$ [3 {sin A + 2 ∙ (- sin A) ∙ $\frac{1}{2}$} - 3 sin A]

= $\frac{1}{4}$ [3 {sin A - sin A} - 3 sin A]

= - $\frac{3}{4}$ sin 3A. Terbukti

Pembuktian Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

• Sin 2A
• Cos 2A
• Tan 2A
• Sin 2A dalam Tan A
• Cos 2A dalam Tan A
• Fungsi Trigonometri A dalam cos 2A
• Sin 3A dinyatakan dalam Sin A
• Cos 3A dinyatakan Cos A
• Tan 3A dinyatakan dalam tan A
• Rumus Trigonometri Sudut Ganda (Sudut Rangkap)