Kita akan belajar bagaimana mengekspresikan sudut pandang ganda dari sin 3A dalam sin A.
Fungsi trigonometri dari sin 3A dalam sin A juga dikenal sebagai salah satu rumus sudut ganda.
Jika A adalah angka atau sudut yang kita miliki, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A.
Sekarang kita akan membuktikan formula beberapa sudut di atas langkah demi langkah.
Bukti:
sin 3A = sin (2A + A)
= sin 2A cos A + cos 2A sin A
= 2 sin A cos A ∙ cos A + (1 - 2 sin2 A) sin A
= 2 sin A (1 - sin2 A) + sin A - 2 sin3 A
= 2 sin A - 2 sin3 A + sin A - 2 sin3 A
= 3 sin A - 4 sin3 A
Karena itu, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A
Contoh 1
Buktikan bahwa sin A ∙ sin (600 - A) sin (60 + A) = 14 sin 3A.
Jawab:
sin A ∙ sin (60° - A) sin (60 ° + A)
= sin A (sin2 60° - sin2 A), [Karena, sin (A + B) sin (A - B) = sin2 A - sin2 B]
= sin A [(√32)2 - sin2 A), [Karena kita tahu bahwa sin 60° = 12]
= sin A (34 - sin2 A)
= 14sin A (3 - 4 sin2 A)
= 14 (3 sin A - 4 sin3 A)
Sekarang terapkan rumus dosa 3A dalam hal A
= 14 sin 3A. Terbukti
Contoh 2
Jika cos θ = 1213 tentukan nilai sin 3θ.
Jawab:
Diberikan, cos A = 1213
Kita tahu bahwa sin2 A + cos2 A = 1
⇒ sin2 A = 1 - cos2A
⇒ sin A = √1−cos2A
Karena itu, sin A = √1−(1213)2
⇒ sin A = √1−(144169)
⇒ sin A = √25169
⇒ sin A = 513
Sekarang, sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A
= 3 ∙ 513 - 4 ∙ (513)3
= 1513 - 5002199
= (2535−500)2199
= 20352199
Contoh 3
Tunjukkan bahwa, sin3 A + sin3 (120° + A) + sin3 (240° + A) = - 34 sin 3A.
Jawab:
sin3 A + sin3 (120° + A) + sin3 (240° + A)
= 14 [4 sin3 A + 4 sin3 (120° + A) + 4 sin3 (240° + A)]
= 14 [3 sin A - sin 3A + 3 sin (120° + A) - sin 3 (120° + A) + 3 sin (240° + A) - sin 3 (240° + A)]
[Karena kita tahu itu, sin 3A = 3 sin 3A - 4 sin3 A ⇒ 4 sin3 A = 3 sin A - sin 3A]
= 14 [3 {sin A + sin (120 ° + A) + sin (240 ° + A)} - {sin 3A + sin (360 ° + 3A) + sin (720 ° + 3A)}]
= 14 [3 {sin A + 2 sin (180 ° + A) cos 60 °) - (sin 3A + sin 3A + sin 3A)}
= 14 [3 {sin A + 2 ∙ (- sin A) ∙ 12} - 3 sin A]
= 14 [3 {sin A - sin A} - 3 sin A]
= - 34 sin 3A. Terbukti