Nilai yang tepat dari cos 27°

Kita akan belajar mencari nilai pasti dari cos 27⁰ menggunakan rumus kelipatan sudut.

Bagaimana menemukan nilai yang tepat dari sin 27°?

Jawab:

Kita dapatkan, (sin 27° + cos 27°)² = sin² 27° + cos² 27° + 2 sin 27° cos 27°

⇒ (sin 27° + cos 27°)² = 1+ sin 2. 27°

⇒ (sin 27° + cos 27°)² = 1 + sin 54°

⇒ (sin 27° + cos 27°)² = 1 + sin (90° - 36°)

⇒ (sin 27° + cos 27°)² = 1 + cos 36°

⇒ (sin 27° + cos 27°)² $=1+\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

⇒ (sin 27° + cos 27°)² $=\frac{1}{4}(5+\sqrt{5})$

Jadi, sin 27° + cos 27° $=\frac{1}{2}\sqrt{(5+\sqrt{5})}$ …………….….(i) [Karena, sin 27° > 0 dan cos 27° > 0)

Demikian pula, kita memiliki, (sin 27° - cos 27°)2 = 1 - cos 36°

⇒ (sin 27° - cos 27°)² $=1+\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

⇒ (sin 27° - cos 27°)²$=\frac{1}{4}(3-\sqrt{5})$

Jadi, sin 27° - cos 27° = $=\pm \frac{1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}$ …………….….(ii)

Sekarang, sin 27° - cos 27° = $\sqrt{2}$ ($\frac{1}{\sqrt{2}}$ sin 27˚ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ cos 27°)

                               = 2 (cos 45° sin 27° - sin 45° cos 27°)

                               = 2 sin (27° - 45°)

                               = -$\sqrt{2}$ sin 18° < 0

Oleh karena itu, dari (ii) kita peroleh,

⇒ sin 27° - cos 27° $=-\frac{1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}$ …………….….(iii)

Sekarang, mengurangkankan (i) dan (iii) kita mendapatkan,

⇒ 2 cos 27° $=\frac{1}{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}$

⇒ cos 27° $=\frac{1}{4}\left (\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}} \right )$

Jadi, cos 27° $=\frac{1}{4}\left (\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}} \right )$