Pembuktian Rumus Trigonometri Sudut Ganda (Sudut Rangkap) Sin 2A

Kita akan belajar untuk mengekspresikan fungsi trigonometri dari sin 2A kemudian dinyatakan dalam A. Kita tahu jika A adalah sudut yang diberikan maka 2A dikenal sebagai sudut ganda (sudut rangkap).

Bagaimana membuktikan rumus sin 2A sama dengan 2 sin A cos A?

Kita tahu bahwa untuk dua bilangan real atau sudut A dan B,

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Sekarang, kita menempatkan B = A di kedua sisi rumus di atas,

sin (A + A) = sin A cos A + sin A cos A

⇒ sin 2A = 2 sin A cos A

Rumus di atas juga dikenal sebagai rumus sudut ganda untuk sin 2A.

Sekarang, kita akan menerapkan rumus sin 2A untuk menyelesaikan masalah di bawah ini.

Contoh 1.
Ekspresikan sin 8A dalam hal sin 4A dan cos 4A

Jawab:

sin 8A = sin (2 ∙ 4A)

sin 8A = 2 sin 4A cos 4A

[Karena, kita tahu sin 2A = 2 sin A cos A]

Contoh 2
Jika sin A = $\frac{3}{5}$ temukan nilai-nilai sin 2A.

Jawab:
Diberikan, sin A = $\frac{3}{5}$

Kita tahu juga, sin² A + cos² A = 1

cos² A = 1 - sin² A

cos² A = 1 - (3/5)²

cos² A = 1 – $\frac{9}{25}$

cos² A = $\frac{16}{25}$

cos A = $\frac{4}{5}$

maka

sin 2A = 2 sin A cos A

= 2 ∙ $\frac{3}{5}$ ∙ $\frac{4}{5}$

= $\frac{24}{25}$

Contoh 3
Buktikan bahwa, 16 cos ($\frac{2}{15}$π) cos ($\frac{4}{15}$π) cos ($\frac{8}{15}$π) cos ($\frac{16}{15}$π) = 1.

Jawab:

Misalkan, $\frac{2}{15}$π = θ, maka

16 cos ($\frac{2}{15}$π) cos ($\frac{4}{15}$π) cos ($\frac{8}{15}$π) cos ($\frac{16}{15}$π)

= 16 cos θ cos 2θ cos 4θ cos 8θ, [Karena, θ = $\frac{2}{15}$π]

= $\frac{8}{sin\theta }$ (2 sin θ cos θ) cos 2θ cos 4θ cos 8θ

= $\frac{4}{sin\theta}$ (2 sin 2θ cos 2θ) cos 4θ cos 8θ

= $\frac{2}{sin\theta}$ (2 sin 4θ cos 4θ) cos 8θ

= $\frac{1}{sin\theta}$ (2 sin 8θ cos 8θ)

= $\frac{1}{sin\theta}$ ∙ sin 16θ

= $\frac{1}{sin\theta}$ ∙ sin (15θ + θ)

= $\frac{1}{sin\theta}$ ∙ sin (2π + θ), [karena, 2π/15 = θ ⇒15θ = 2π]

= $\frac{1}{sin\theta}$ ∙ sin (θ), [Karena, sin (2π + θ) = sin θ]

= 1. Terbukti

Pembuktian Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

• Sin 2A
• Cos 2A
• Tan 2A
• Sin 2A dalam Tan A
• Cos 2A dalam Tan A
• Fungsi Trigonometri A dalam cos 2A
• Sin 3A dinyatakan dalam Sin A
• Cos 3A dinyatakan Cos A
• Tan 3A dinyatakan dalam tan A
• Rumus Trigonometri Sudut Ganda (Sudut Rangkap)