Pembuktian Rumus Trigonometri Sudut Ganda (Sudut Rangkap) Cos 2A

Kita akan belajar untuk mengekspresikan fungsi trigonometri dari cos 2A yang dinyatakan dalam A. Kita tahu jika A adalah sudut yang diberikan maka 2A dikenal sebagai sudut ganda.

Bagaimana cara membuktikan rumus cos 2A sama dengan cos² A - sin² A?
Atau
Bagaimana cara membuktikan rumus cos 2A sama dengan 1 - 2 sin² A?
Atau
Bagaimana cara membuktikan rumus cos 2A sama dengan 2 cos² A - 1?

Kita tahu bahwa untuk dua bilangan real atau sudut A dan B,

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

Sekarang, kita menempatkan B = A di kedua sisi rumus di atas,

cos (A + A) = cos A cos A - sin A sin A

⇒ cos 2A = cos² A - sin² A

⇒ cos 2A = cos² A - (1 - cos² A), [karena kita tahu bahwa sin² θ = 1 - cos² θ]

⇒ cos 2A = cos² A - 1 + cos² A,

⇒ cos 2A = 2 cos² A - 1

⇒ cos 2A = 2 (1 - sin² A) - 1, [karena kita tahu cos² θ = 1 - sin² θ]

⇒ cos 2A = 2 - 2 sin² A - 1

⇒ cos 2A = 1 - 2 sin² A

catatan:

(i) Dari cos 2A = 2 cos² A - 1 kita dapatkan, 2 cos² A = 1 + cos 2A

dan dari cos 2A = 1 - 2 sin² A kita dapatkan, 2 sin²A = 1 - cos 2A

(ii) Rumus di atas juga dikenal sebagai rumus sudut ganda untuk cos 2A.

Sekarang, kita akan menerapkan rumus sudut ganda cos 2A untuk menyelesaikan masalah di bawah ini.

Contoh 1
Nyatakan cos 4A dalam sin 2A dan cos 2A

Jawab:
cos 4A = cos (2 ∙ 2A) = cos² (2A) - sin² (2A)

Contoh 2
Nyatakan cos 4β dalam sin 2β

Jawab:

cos 4β = cos (2 ∙ 2β) = 1 - 2 sin²(2β)

Contoh 3
Tunjukkan cos 4θ dalam cos 2θ

Jawab:
cos 4θ = cos (2 ∙ 2θ) = 2 cos²(2θ) - 1

Contoh 4
Tunjukkan cos 4A dalam cos A.

Jawab:
cos 4A = cos (2 ∙ 2A) = 2 cos² (2A) - 1

⇒ cos 4A = 2 (2 cos 2A - 1)² - 1

⇒ cos 4A = 2 (4 cos⁴ A - 4 cos² A + 1) - 1

⇒ cos 4A = 8 cos⁴ A - 8 cos² A + 1

Contoh 5
Jika sin A = $\frac{3}{5}$ tentukan nilai-nilai cos 2A.

Jawab:
Diberikan, sin A = $\frac{3}{5}$

cos 2A = 1 - 2 sin² A

= 1 - 2 $\left ( \frac{3}{5} \right )^2$

= 1 - 2.$\frac{9}{25}$

= 1 – $\frac{18}{25}$

= $\frac{7}{25}$

Contoh 6
Buktikan bahwa cos 4x = 1 - 8sin² x cos² x

Jawab:
cos 4x = cos (2 × 2x)

= 1 - 2 sin² 2x, [Karena, cos 2A = 1 - 2 sin² A]

= 1 - 2 (2 sin x cos x)²

= 1 - 2 (4 sin² x cos² x)

= 1 - 8 sin² x cos² x

Pembuktian Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

• Sin 2A
• Cos 2A
• Tan 2A
• Sin 2A dalam Tan A
• Cos 2A dalam Tan A
• Fungsi Trigonometri A dalam cos 2A
• Sin 3A dinyatakan dalam Sin A
• Cos 3A dinyatakan Cos A
• Tan 3A dinyatakan dalam tan A
• Rumus Trigonometri Sudut Ganda (Sudut Rangkap)