Pembuktian Rumus Trigonometri cos 3A dalam cos A

Kita akan belajar bagaimana menyatakankan sudut berganda dari cos 3A dalam cos A.
Fungsi trigonometri cos 3A dalam cos A juga dikenal sebagai salah satu rumus sudut ganda.

Jika A adalah angka atau sudut yang kita miliki, cos 3A = 4 cos³ A - 3 cos A
Sekarang kita akan membuktikan formula beberapa sudut di atas langkah demi langkah.

Bukti:

cos 3A = cos (2A + A)

= cos 2A cos A - sin 2A sin A

= (2 cos² A - 1) cos A - 2 sin A cos A ∙ sin A

= 2 cos³ A - cos A - 2 cos A (1 - cos² A)

= 2 cos³ A - cos A - 2 cos A + 2 cos³ A

= 4 cos³ A - 3 cos A

Oleh karena itu, cos 3A = 4 cos³ A - 3 cos A

Contoh 1.
Buktikan bahwa: cos 6A = 32 cos⁶ A - 48 cos⁴ A + 18 cos² A - 1

Jawab:
cos 6A = 2 cos² 3A - 1,

[Karena kita tahu itu, cos 2θ = 2 cos² θ - 1]

= 2 (4 cos³ A - 3 cos A)² - 1

= 2 (16 cos⁶ A + 9 cos² A - 24 cos² A) - 1

= 32 cos⁶ A - 48 cos⁴ A + 18 cos² A - 1

Contoh 2
Tunjukkan bahwa, 32 sin⁶ θ = 10 - 15 cos 2θ + 6 cos 4θ - cos 6θ

Jawab:
32 sin⁶ θ = 4 ∙ (2 sin² θ)³

= 4 (1 - cos 2θ)³

= 4 [1 - 3 cos 2θ + 3 ∙ cos ^ 2 2θ - cos ^ 3 2θ]

= 4 - 12 cos² θ + 12 cos² 2θ - 4 cos³ 2θ

= 4 - 12 cos 2θ + 6 ∙ 2 cos² 2θ - [cos 3 ∙ (2θ) + 3 cos 2θ]

 [Karena, cos 3A = 4 cos³ A - 3 cos A

Oleh karena itu, 4 cos³ A = cos 3A + 3 cos A]

⇒ 4 cos³ 2θ = cos 3 ∙ (2θ) + 3 cos 2θ, (menggantikan A dengan 2θ)

= 4 - 12 cos 2θ + 6 (1 + cos 4θ) - cos 6θ - 3 cos 2θ

= 10 - 15 cos 2θ + 6 cos 4θ - cos 6θ. Terbukti

Contoh 3
Buktikan bahwa: cos A cos (60 - A) cos (60 + A) = $\frac{1}{4}$ cos 3A

Jawab:
cos A ∙ cos (60 - A) cos (60 + A)

= cos A ∙ (cos² 60 - sin² A), [Karena kita tahu cos (A + B) cos (A - B) = cos² A - sin² B]

= cos A ($\frac{1}{4}$ - sin² A)

= cos A ($\frac{1}{4}$ - (1 - cos² A))

= cos A (-$\frac{3}{4}$ + cos² A)

= $\frac{1}{4}$ cos A (-3 + 4 cos² A)

= $\frac{1}{4}$ (4 cos³A - 3 cos A)

 = $\frac{1}{4}$ cos 3A. Terbukti

Pembuktian Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

• Sin 2A
• Cos 2A
• Tan 2A
• Sin 2A dalam Tan A
• Cos 2A dalam Tan A
• Fungsi Trigonometri A dalam cos 2A
• Sin 3A dinyatakan dalam Sin A
• Cos 3A dinyatakan Cos A
• Tan 3A dinyatakan dalam tan A
• Rumus Trigonometri Sudut Ganda (Sudut Rangkap)