Nilai Tepat dari tan 72°

Kita akan belajar mencari nilai pasti dari tan 72⁰ menggunakan rumus sudut rangkap.

Bagaimana cara mencari nilai pasti dari tan 72°?

Misalkan A = 18°

Jadi, 5A = 90°  

⇒ 2A + 3A = 90˚

⇒ 2θ = 90˚ - 3A

Mengambil sinus di kedua sisi, kita mendapatkan

⇒ sin 2A = sin (90˚ - 3A) = cos 3A

⇒ 2 sin A cos A = 4 cos³ A - 3 cos A

⇒ 2 sin A cos A - 4 cos³ A + 3 cos A = 0

⇒ cos A (2 sin A - 4 cos² A + 3) = 0

Membagi kedua ruas dengan cos A = cos 18˚ ≠ 0, kita peroleh

⇒ 2 sin - 4 (1 - sin² A) + 3 = 0

⇒ 4 sin² A + 2 sin A - 1 = 0, yang merupakan kuadrat dalam sin A

Jadi, $sin\theta =\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(4)(-1)} }{2(4)}$

⇒ $sin\theta =\frac{-2\pm\sqrt{4+16} }{8}$

⇒ $ sin\theta =\frac{-2\pm2\sqrt{5} }{8}$

⇒ $ sin\theta =\frac{-1\pm\sqrt{5} }{4}$

Sekarang sin 18° adalah positif, karena 18° terletak di kuadran pertama.

Oleh karena itu, sin 18° = sin A $=\frac{-1+\sqrt{5} }{4}$

Sekarang $cos18^0=\pm \sqrt{1-sin^218^0}$, [Mengambil nilai positif, cos 18° > 0]

⇒ $cos18^0=\sqrt{1-\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right )^2}$

⇒ $ cos18^0= \sqrt{\frac{16-(5+1-2\sqrt{5})}{16}}$

⇒ $ cos18^0= \sqrt{\frac{10+2\sqrt{5})}{16}}$

⇒ $ cos18^0=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

karena sin 72° = sin (90° - 18°) = cos 18° $=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

dan cos 72° = cos (90° - 18°) = sin 18° $=\frac{-1+\sqrt{5} }{4}$

maka tan 72° $=\frac{sin72^0}{cos72^0}$  

⇒ tan 72° $=\frac{sin72^0}{cos72^0}=\frac{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}$  

⇒ tan 72° $=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}$ 

Jadi, tan 72° $=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}$