Nilai Tepat dari tan 142½°

Bagaimana mencari nilai yang tepat dari tan 142½° menggunakan nilai sin 15° dan cos 15°?

Bagaimana cara mencari nilai pasti dari tan 142½°?

Jawab:

Untuk semua nilai sudut A dan B kita tahu bahwa, 

tan (A + B) $=\frac{tanA+tan B}{1-tan AtanB}$,

sin A = 2 sin $\frac{A}{2}$ cos $\frac{A}{2}$

dan

$cos A = cos^2 \frac{A}{2} - sin^2 \frac{A}{2}$

Sekarang cokelat 142½°

= tan (90° + 52½°)

= - cot 52½°

$=\frac{-1}{tan52\frac{1}{2}^0}=\frac{-1}{tan (45^0 + 7\frac{1}{2}^0)}$ 

$=-\frac{1-tan7\frac{1}{2}^0}{1+tan7\frac{1}{2}^0}=-\frac{cos7\frac{1}{2}^0-sin7\frac{1}{2}^0}{cos7\frac{1}{2}^0+sin7\frac{1}{2}^0}$ 

$=-\frac{(cos7\frac{1}{2}^0-sin7\frac{1}{2}^0)(cos7\frac{1}{2}^0-sin7\frac{1}{2}^0)}{(cos7\frac{1}{2}^0+sin7\frac{1}{2}^0)(cos7\frac{1}{2}^0-sin7\frac{1}{2}^0)}$ 

$=-\frac{(cos7\frac{1}{2}^0-sin7\frac{1}{2}^0)^2}{(cos^2 7\frac{1}{2}^0-sin^2 7\frac{1}{2}^0)}$ 

$=-\frac{1-2sin7\frac{1}{2}cos7\frac{1}{2}^0}{(cos^2 7\frac{1}{2}^0-sin^2 7\frac{1}{2}^0)}=-\frac{1-sin15^0}{cos15^0}$ 

$=-\frac{1-sin(45^0-30^0)}{cos(45^0-30^0)}=-\frac{1-\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}$ 

$=-\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$ 

$=-\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$ 

$=-\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{3-1}$ 

$=-\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)-(\sqrt{3}+1)^2}{2}$ $=-[\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)-(2-\sqrt{3})]$ $=-\sqrt{6}+\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$ $=2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$