Nilai Tepat dari cos 54°

Kita akan belajar mencari nilai pasti dari cos 54⁰ menggunakan rumus rangkap sudut.

Bagaimana cara mencari nilai pasti dari cos 54°?

Misalkan A = 18°

Jadi, 5A = 90° 9

⇒ 2A + 3A = 90˚

⇒ 2θ = 90˚ - 3A

Mengambil sinus di kedua sisi, kita mendapatkan

⇒ sin 2A = sin (90˚ - 3A) = cos 3A

⇒ 2 sin A cos A = 4 cos³ A - 3 cos A

⇒ 2 sin A cos A - 4 cos³ A + 3 cos A = 0

⇒ cos A (2 sin A - 4 cos² A + 3) = 0

Membagi kedua ruas dengan cos A = cos 18˚ 0, kita peroleh

⇒ 2 sin - 4 (1 - sin² A) + 3 = 0

⇒ 4 sin² A + 2 sin A - 1 = 0, yang merupakan kuadrat dalam sin A

Jadi, sin sin $=\frac{-2\pm \sqrt{(2)^2-4(4)(-1)}}{2(4)}$

⇒ sin 𝜃$=\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{8}$

⇒ sin 𝜃$=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{8}$

⇒ sin 𝜃$=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$

Sekarang sin 18° adalah positif, karena 18° terletak di kuadran pertama.

Oleh karena itu, sin 18° = sin A $=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$

Sekarang, cos 36° = cos 2 18°

⇒ cos 36° = 1 - 2 sin² 18°

⇒ cos 36° $=1-2\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right )^2$

⇒ cos 36° $=\frac{16-2(5+1-2\sqrt{5})}{16}$

⇒ cos 36° $=\frac{1+4\sqrt{5}}{16}$

⇒ cos 36° $=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Oleh karena itu, sin 36° $=\sqrt{1-cos^236^0}$,[Mengambil sin 36° adalah positif, karena 36° terletak di kuadran pertama, sin 36° > 0]

⇒ sin 36° $=\sqrt{1-\left ( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right )^2}$

⇒ sin 36° $=\sqrt{\frac{16-(5+1+2\sqrt{5})}{16}}$

⇒ sin 36° $=\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}$

⇒ sin 36° $=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Karena cos 54° = cos (90° - 36°) = sin 36° $=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Jadi, cos 54°$=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$