Pangkat Bulat Positif dan Pembahasan Soal

Definisi:

Jika a suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat positif, maka

$a^n = a^n=\underset{sebanyak \ n\ faktor\ a}{\underbrace{a \times a \times a \times . . . \times a}}$

dengan 

n dinamakan pangkat atau eksponen (diletakkan di sebelah kanan atas a)

a dinamakan bilangan pokok (bilangan dasar atau basis)

$a^n$ dinamakan bilangan berpangkat dan dibaca "a pangkat n" atau "a dipangkatkan n" atau "pangkat ke-n dari a".

a. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif

Teorema: Pangkat Bulat Positif

Jika m, n, dan p adalah bilangan-bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan-bilangan real, maka

1. $a^m \times a^n = a^{m + n}$
2. $a^m : a^n = a^{m - n}$ atau $\frac{a^m}{a^n}= a^{m - n}$, a ≠ 0 dan m > n
3. $(a^m)^n = a^{m \times n}$
4. $(a^m b^n)^p =a^{mp}b{np}$
5. $\left (\frac{a^m}{a^n} \right)^p = \frac{a^{mp}}{b^{np}}$, b ≠ 0.

b. Notasi Ilmiah Bilangan Besar

Bilangan besar adalah bilangan-bilangan yang lebih dari 10. Notasi Ilmiah bilangan besar dinyatakan sebagai $a \times 10^n$ dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan bulat positif (bilangan asli). Pangkat n dapat diperoleh dari banyak pergeseran koma desimal.

Contoh Soal 1

Hitung hasil perpangkatan berikut ini! 

a. $2^5$ b. $-3^4$ c. $(-3)^4$

d. $2 \times 5^3$ e. $4(\frac{1}{2})^3$ f. $5(- \frac{3}{4})^2$

 Jawab:

a. $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

b. $-3^4=(-1) \times 3^4$

= $(-1) \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = -81$

c. $(-3)^4= (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81$

d. $2 \times 5^3 = 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$

e. $4(\frac{1}{2})^3 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$

f. $5(- \frac{3}{4})^2= 5 \times (- \frac{3}{4}) \times (- \frac{3}{4}) =2 \frac{13}{16}$

Contoh Soal 2

Tuliskan hasil perpangkatan setiap bentuk berikut ini! 

a. $5 \times 5 \times 5$

b. $-2 \times 2 \times 2 \times 2$

c. $(-4)(-4)(-4)(-4)(-4)$

d. $(a + 1)(a + 1)(a + 1)(a + 1)$

Jawab:

a. $5 \times 5 \times 5=5^3$

b. $-2 \times 2 \times 2 \times 2$

= $(-1) \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = -2^4$

c. $(-4)(-4)(-4)(-4)(-4) = (-4)^5$

d. $(a + 1)(a + 1)(a + 1)(a + 1) = (a + 1)^4$

Contoh Soal 3

Dengan menggunakan teorema pangkat bulat positif, sederhanakan setiap bentuk berikut ini.

a. $5^6 \times 5^3$ b. $(-2)^7 \times (-2)^8$ c. $-3^4 \times 3^4 \times 3^5$ d. $(x - 4)^5 \times (x-4)^3$ e. $\frac{2^8}{2^3}$ f. $\frac{-3^6}{3^2}$ g. $\frac{5^18}{5^3 \times 5^7}$ h. $(3^2)^5$ i. $[(-2)^7]^3$

j. $(-6^4)^8$ k. $(2^3 \times 3^5)^4$ l. $[(2x)^2 y^3]^5$ m.$3(5^3 ab)^6$ n.$[(a + 1)^5 b^2 c^3]$ o.$\left(\frac{2}{3} \right)^5$ p.$\left(\frac{a^3}{b^7} \right)^{20}$ q.$\left[\frac{(2x)^3}{y^7} \right]^8$ r. $\left[\frac{(2x-1)^8}{(2x+1)^4} \right]^5$

 Jawab:

Gunakan Teorema: $a^m \times a^n = a^{m + n}$ 

a. $5^6 \times 5^3 = 5^{6+3} =5^9$

b. $(-2)^7 \times (-2)^8 = (-2)^{7+8}=(-2)^{15}$

c. $-3^4 \times 3^4 \times 3^5 = (-1) \times 3^{4+7+5} = (-1) \times (3)^{16} = -3^{16}$

d. $(x - 4)^5 \times (x-4)^3 = (x - 4)^{5+3}=(x-4)^8$

Gunakan Teorema: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ 

e. $\frac{2^8}{2^3}=2^{8-3}=2^5$

f. $\frac{-3^6}{3^2}=(-1)3^{6-2}= (-1)3^4 = -3^4$

g. $\frac{5^{18}}{5^3 \times 5^7}= 5^{18-3-7}=5^8$

Gunakan Teorema: $(a^m)^n=a^{mn}$ 

h. $(3^2)^5=3^{2 \times 5}=3^{10}$

i. $[(-2)^7]^3=(-2)^{7 \times 3}=(-2)^{21}$

Gunakan Teorema: $(a^m b^n)^p=a^{mp} b^{np}$ 

j. $(-6^4)^8=[(-1)6^4]^8=(-1)^8 \times 6^{4 \times 8} = 6^{32}$

k. $(2^3 \times 3^5)^4=2^{3 \times 4}3^{5 \times 4} = 2^{12}3^{20}$

l. $[(2x)^2 y^3]^5=(2x)^{2 \times 5}y^{3 \times 5}=2^{10}x^{10}y^{15}$

m.$3(5^3 ab)^6=3 \times 5^{3 \times 6}a^6b^6 = 3 \times 5^{18} a^6 b^6$

n.$[(a + 1)^5 b^2 c^3]=(a+1)^{5 \times 7}b{2 \times 7} c^{3 \times 7}=(a+1)^{35}b^{14}c^{21}$

Gunakan Teorema: $\left (\frac{a^m}{b^n} \right)^p= \frac{a^{mp}}{b^{np}}$ 

o.$\left(\frac{2}{3} \right)^5= \frac{2^5}{3^5}$ 

p.$\left(\frac{a^3}{b^7} \right)^{20}= \frac{a^{3 \times 20}}{b^{7 \times 20}}= \frac{a^{60}}{b^{140}}$, b ≠ 0

q.$\left[\frac{(2x)^3}{y^7} \right]^8 = \frac{(2x)^{3 \times 8}}{y^{7 \times 8}}= \frac{2^{24}x^{24}}{y^{56}}$, y ≠ 0

r. $\left[\frac{(2x-1)^8}{(2x+1)^4} \right]^5= \frac{(2x-1)^{8 \times 5}}{(2x + 1)^{4 \times 5}}= \frac{(2x -1)^{40}}{(2x + 1)^{20}}$, x ≠ $- \frac{1}{2}$

Contoh Soal 4

Nyatakan dalam notasi ilmiah!

a. 68.000.000

b. 25 x 8 x 48.000

c. $\frac{72.000.000 \times 15.000}{1.200}$

Jawab:

a. 68.000.000 = $6\underset{n \ = \ 7}{\underbrace{8.000.000}} = 6,8 \times 10^7$

b. 25 x 8 x 48.000 = $9\underset{n \ = \ 6}{\underbrace{600.000}} = 9,6 \times 10^6$

c. $\frac{72.000.000 \times 15.000}{1.200}$

= $\frac{72 \times 10^6 \times 15 \times 10^3}{12 \times 10^2}=90 \times 10^7 = 9 \times 10^8$