Merasionalkan Penyebut Pecahan dan Pembahasan Soal

a. Pecahan Berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ dengan b > 0

Pecahan berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan $\sqrt{b}$, sehingga

$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}= \frac{a \sqrt{b}}{b}=\frac{a}{b} \sqrt{b}$

Secara umum merasionalkan pecahan dapat dirumuskan sebagai berikut:

$\frac{a}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \times \frac{\sqrt[n]{b^{n-1}}}{\sqrt[n]{b^{n-1}}}= \frac{a}{b} \sqrt[n]{b^{n-1}}$

b. Pecahan Berbentuk $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{a-\sqrt{b}}$

Bentuk-bentuk $a+ \sqrt{b}$ dan $a- \sqrt{b}$, dengan a rasional dan $\sqrt{b}$ bentuk akar dinamakan bentuk-bentuk yang sekawan atau $a + \sqrt{b}$ dinamakan kawan dari $a - \sqrt{b}$. Hasil perkalian bentuk sekawan adalah bilangan rasional, sebab $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})= a^2 - b$, bentuk $a^2 - b^2$ adalah bilangan rasional. Sifat bentuk sekawan ini digunakan untuk merasionalkan penyebut pecahan yang bersangkutan. 

• Untuk pecahan $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$ pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan $a- \sqrt{b}$, sehingga 

          $\begin{aligned}\frac{c}{a+\sqrt{b}} &= \frac{c}{a+ \sqrt{b}} \times \frac{a- \sqrt{b}}{a- \sqrt{b}} \\ &= \frac{c(a- \sqrt{b})}{a^2 - b} \\ &= \frac{c}{a^2 -b}(a- \sqrt{b})\end{aligned}$

• Untuk pecahan $\frac{c}{a- \sqrt{b}}$ pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan $a+ \sqrt{b}$, sehingga 

          $\begin{aligned}\frac{c}{a- \sqrt{b}} &= \frac{c}{a- \sqrt{b}} \times \frac{a+ \sqrt{b}}{a+ \sqrt{b}} \\ &= \frac{c(a+ \sqrt{b})}{a^2 - b} \\ &= \frac{c}{a^2 -b}(a+ \sqrt{b})\end{aligned}$

c. Pecahan Berbentuk $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Untuk merasionalkan penyebut pecahan $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$, kita kalikan penyebut masing-masing pecahan dengan akar sekawannya.

• Untuk pecahan $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan $\sqrt{a}- \sqrt{b}$, sehingga 

          $\begin{aligned}\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}}{\sqrt{a}- \sqrt{b}} \\ &= \frac{c(\sqrt{a}- \sqrt{b})}{a - b} \\ &= \frac{c}{a -b}(\sqrt{a}- \sqrt{b})\end{aligned}$

• Untuk pecahan $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan $\sqrt{a}+ \sqrt{b}$, sehingga  

          $\begin{aligned}\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a}- \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}+ \sqrt{b}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} \\ &= \frac{c(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{a - b} \\ &= \frac{c}{a -b}(\sqrt{a}+ \sqrt{b})\end{aligned}$

Contoh Soal 1

Rasionalkan setiap penyebut pecahan berikut ini.

a. $\frac{15}{\sqrt{3}}$ b. $\frac{9}{2 \sqrt{6}}$ c. $\frac{6}{\sqrt{18}}$

d. $\sqrt{\frac{5}{7}}$ e. $\frac{8}{\sqrt[3]{2}}$ f. $\frac{16 \sqrt{6} + \sqrt{24}-2}{2 \sqrt{3}}$

 Jawab:

a. $\frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{15 \sqrt{3}}{3} = 5 \sqrt{3}$ b. $\frac{9}{2 \sqrt{6}} = \frac{9}{2 \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ = $\frac{9 \sqrt{6}}{2.6} = \frac{3}{4} \sqrt{6}$ c. $\frac{6}{\sqrt{18}} = \frac{6}{\sqrt{18}} \times \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{18}}$ = $\frac{6 \sqrt{18}}{18} = \sqrt{2}$ d. $\sqrt{\frac{5}{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ = $\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{7}}{7} = \frac{1}{7} \sqrt{35}$ e. $\frac{8}{\sqrt[3]{2}} = \frac{8}{\sqrt[3]{2}} \times \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}$ = $\frac{8 \sqrt[3]{4}}{2} = 4 \sqrt[3]{4}$ f. $\frac{16 \sqrt{6} + \sqrt{24}-2}{2 \sqrt{3}}$ = $\frac{16 \sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{24}}{2 \sqrt{3}} - \frac{3}{2 \sqrt{3}}$ = $8 \sqrt{\frac{6}{3}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{24}{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = $8 \sqrt{2} + \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3}$ = $9 \sqrt{2} - \frac{1}{3} \sqrt{3}$ Contoh Soal 2 Rasionalkan setiap penyebut pecahan berikut ini. a. $\frac{16}{3+ \sqrt{5}}$ b. $\frac{2 \sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}}$ c. $\frac{4 - \sqrt{2}}{\sqrt{18 + 8 \sqrt{2}}}$  Jawab:

a. $\frac{16}{3+ \sqrt{5}}$

$\begin{aligned}\frac{16}{3+ \sqrt{5}} &= \frac{16}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \\ &= \frac{16(3 - \sqrt{5}}{9-5} = 4(3 - \sqrt{5})\end{aligned}$

b. $\frac{2 \sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}}$

$\begin{aligned}\frac{2 \sqrt{3}}{4- 2\sqrt{3}} &= \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}} \times \frac{2 \sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{16-12} \\ &= \frac{8 \sqrt{3}+ 12}{4} = 2 \sqrt{3} + 3\end{aligned}$

c. $\frac{16}{3+ \sqrt{5}}$

$\begin{aligned}\frac{16}{3+ \sqrt{5}} &= \frac{16}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \\ &= \frac{16(3 - \sqrt{5}}{9-5} = 4(3 - \sqrt{5})\end{aligned}$

Contoh Soal 3 Rasionalkan setiap penyebut pecahan berikut ini. a. $\frac{65}{\sqrt{7}+ \sqrt{2}}$ b. $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ c. $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{17 - 4 \sqrt{15}}}$  Jawab:

a. $\frac{65}{\sqrt{7}+ \sqrt{2}}$

$\begin{aligned}\frac{65}{\sqrt{7}+ \sqrt{2}} &= \frac{65}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \\ &= \frac{65(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{7-2} = 13(\sqrt{7} - \sqrt{2})\end{aligned}$

b. $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

$\begin{aligned}\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}- \sqrt{3}} &= \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} -  \sqrt{3}} \times \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}} \\ &= \frac{3 \sqrt{2}(2\sqrt{2} + \sqrt{3})}{8-3} \\ &= \frac{12 +3\sqrt{6}}{5} = \frac{3}{5} (4 + \sqrt{6})\end{aligned}$

c. $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{17 - 4 \sqrt{15}}}$

$\begin{aligned}\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{17- 2\sqrt{60}} &= \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{12} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{12} + \sqrt{5}}{\sqrt{12} + \sqrt{5}} \\ &= \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{12} + \sqrt{5})}{12-5}\\ &= \frac{1}{7}(11 + 3\sqrt{15})\end{aligned}$

Contoh Soal 4

Rasionalkan setiap penyebut pecahan berikut ini.

a. $\frac{1}{\sqrt[3]{7}- \sqrt[3]{5}}$ b. $\frac{8}{\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{3}}$

c. $\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}}$

 Jawab: 

a. $\frac{1}{\sqrt[3]{7}- \sqrt[3]{5}}$

$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt[3]{7}- \sqrt[3]{5}} &= \frac{1}{\sqrt[3]{7}- \sqrt[3]{5}}\times \frac{\sqrt[3]{49}+ \sqrt[3]{35}+ \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{49}+ \sqrt[3]{35}+ \sqrt[3]{25}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{49}+ \sqrt[3]{35}+ \sqrt[3]{25}}{7-5}\\ &= \frac{1}{2}(\sqrt[3]{49}+ \sqrt[3]{35}+ \sqrt[3]{25}) \end{aligned}$

b. $\frac{8}{\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{3}}$

$\begin{aligned}\frac{8}{\sqrt[4]{5}- \sqrt[4]{3}} &= \frac{8}{\sqrt[4]{5}- \sqrt[4]{3}}\times \frac{\sqrt[4]{125}+ \sqrt[4]{75}+ \sqrt[4]{45} + \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{125}+ \sqrt[4]{75}+ \sqrt[4]{45} + \sqrt[4]{27}}\\ &= \frac{8(\sqrt[4]{125}+ \sqrt[4]{75}+ \sqrt[4]{45}+ \sqrt[4]{27})}{5-3}\\ &= 4(\sqrt[4]{125}+ \sqrt[4]{75}+ \sqrt[4]{45} +  \sqrt[4]{27}) \end{aligned}$

c. $\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}}$

$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{5}} &= \frac{1}{(\sqrt{2}+ \sqrt{3}) + \sqrt{5}}\times \frac{(\sqrt{2}+ \sqrt{3})- \sqrt{5}}{(\sqrt{2}+ \sqrt{3})- \sqrt{5}}\\ &= \frac{\sqrt{2}+ \sqrt{3}- \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}\\ &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{5 + 2 \sqrt{6} - 5} \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{12} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{30}}{12} \end{aligned}$