a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Sebelum melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, kita harus memahami terlebih dahulu tentang akar senama dan akar sejenis.
- Akar senama adalah akar-akar yang memiliki indeks sama. Sebagai contoh: $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[3]{7}$, $\sqrt[3]{19}$, $\sqrt[3]{x}$, dan sebagainya.
- Akar sejenis akar-akar yang memiliki indeks maupun radikan (bilangan pokok) sama. Sebagai contoh: $\sqrt[3]{2}$, $8\sqrt[3]{2}$, $\frac{1}{2} \sqrt[3]{2}$, $x\sqrt[3]{2}$, dan sebagainya.
- $a\sqrt[n]{c}+b \sqrt[n]{c}=(a+b) \sqrt[n]{c}$
- $a\sqrt[n]{c}-b \sqrt[n]{c}=(a-b) \sqrt[n]{c}$
- $x\sqrt[n]{a} \times y \sqrt[n]{b}=xy \sqrt[n]{ab}$
- $ \left (a\sqrt[n]{b} \right)^n = a^nb$
- $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = ( \sqrt{a})^2 = a$, dengan a ≥ 0
- $x\sqrt[m]{a} \times y \sqrt[n]{b}$ = $x\sqrt[mn]{a^n} \times y \sqrt[mn]{b^m}$ = $xy\sqrt[mn]{a^nb^m}$
- $ \frac{x\sqrt[n]{a}}{y \sqrt[n]{b}}= \frac{x}{y} \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
- $ \frac{x\sqrt[m]{a}}{y \sqrt[n]{b}}$ = $ \frac{x\sqrt[mn]{a^n}}{y \sqrt[mn]{b^m}}$ = $ \frac{x}{y} \sqrt[mn]{\frac{a^n}{b^m}}$
- $\frac{\sqrt[m]{a} \times \sqrt[m]{b}}{\sqrt[m]{c} \times \sqrt[m]{d}}= \sqrt[m]{\frac{ab}{cd}}$
- $\sqrt{(a + b)+2 \sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
- $\sqrt{(a + b)-2 \sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$, dengan a > b
- $\sqrt{a+b \sqrt{c}}= \sqrt{\frac{a+p}{2}}+ \sqrt{\frac{a-p}{2}}$, dengan $p=\sqrt{a^2 -(b \sqrt{c})^2}$
- $\sqrt{a-b \sqrt{c}}= \sqrt{\frac{a+p}{2}}- \sqrt{\frac{a-p}{2}}$, dengan $p=\sqrt{a^2 -(b \sqrt{c})^2}$
a. $8\sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$ b. $15\sqrt{3} - 16 \sqrt{3}$ | c. $3 \sqrt{5}+ \sqrt{20} - 2 \sqrt{125}$ d. $3\sqrt{8} - \sqrt{12}+ 18 \sqrt{\frac{1}{2}}$ |
a. $8\sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$
= $(8 + 6)\sqrt{2}$ = $14\sqrt{2}$
b. $15\sqrt{3} - 16 \sqrt{3}$
= $(15-16)\sqrt{3}$ = $-\sqrt{3}$
c. $3 \sqrt{5}+ \sqrt{20} - 2 \sqrt{125}$
= $3 \sqrt{5}+ \sqrt{4 \times 5} - 2 \sqrt{25 \times 5}$
= $3 \sqrt{5}+ 2\sqrt{5} - 2 \times 5\sqrt{5}$
= $(3 + 2 - 10) \sqrt{5}$ = $-5 \sqrt{5}$
d. $3\sqrt{8} - \sqrt{12}+ 18 \sqrt{\frac{1}{2}}$
= $3\sqrt{4 \times 2} - \sqrt{4 \times 3}+ 18 \times \frac{1}{2}\sqrt{2}$
= $6\sqrt{2} - 2\sqrt{3}+ 9 \sqrt{2}$
= $(6 + 9) \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}= 15 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$
Contoh Soal 2
Tentukan hasil perkalian berikut dalam bentuk akar paling sederhana.
a. $\sqrt{7} \times \sqrt{3}$ b. $2\sqrt{5} \times \sqrt{15}$ | c. $2 \sqrt[3]{12} \times 4 \sqrt[3]{6}$ d. $5\sqrt[3]{2} \times 4 \sqrt{3}$ |
a. $\sqrt{7} \times \sqrt{3} = \sqrt{7 \times 3} = \sqrt{21}$ b. $2\sqrt{5} \times \sqrt{15}$ = $2\sqrt{5 \times 15}$ = $2\sqrt{5^2 \times 3} = 2 \times 5 \sqrt{3}= 10 \sqrt{3}$ c. $2 \sqrt[3]{12} \times 4 \sqrt[3]{6}= 8 \sqrt[3]{12 \times 6}$ = $8 \sqrt[]{2^3 \times 3^2}= 8 \times 2\sqrt[3]{3^2}=16 \sqrt[3]{9}$ d. $5\sqrt[3]{2} \times 4 \sqrt{3}=20 \sqrt[6]{2^2} \times \sqrt[6]{3^3}$ = $20 \sqrt[6]{2^2 \times 3^3}=20 \sqrt[6]{108}$ Contoh Soal 3 Tentukan hasil perkalian berikut dalam bentuk akar paling sederhana.
|
a. $\sqrt{3}(\sqrt{6} +2 \sqrt{3})$
= $\sqrt{3} \times \sqrt{6} + \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3})$
= $\sqrt{18} + 2 \times 3 = 3 \sqrt{2} + 6$
b. $(2\sqrt{2} -5) 4\sqrt{2}$
= $2\sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} -5 \times 4\sqrt{2}$
= $8 \times 2 - 20 \sqrt{2} = 16 - 20 \sqrt{2}$
c. $(\sqrt{5} + 2 \sqrt{3})(\sqrt{5} - 2 \sqrt{3})$
= $( \sqrt{5})^2 - (2 \sqrt{3})^2$
= $5 - 2^2 \times 3$ = 5 - 12 = -7
d. $(5\sqrt{3} - \sqrt{2})(5\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})$
= $(5\sqrt{3})^2 + (- \sqrt{2}+2 \sqrt{2})5 \sqrt{2} - \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}$
= $5^2 \times 3 + \sqrt{2} \times 5 \sqrt{3} - 2 \times 2$
= $71 + 5 \sqrt{6}$
e. $(6\sqrt{6} + 3)(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$
= $6\sqrt{6} \times 2 \sqrt{3} - 6 \sqrt{6} \times - \sqrt{2}$ + $3 \times 2 \sqrt{3} - 3 \times \sqrt{2}$
|
a. $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$
b. $\sqrt{12 - 2 \sqrt{35}} = \sqrt{7} - \sqrt{5}$
c. $\sqrt{9 + \sqrt{56}} = \sqrt{9 + 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$
d. $\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}}= \sqrt{14-2 \sqrt{45}}$
= $\sqrt{9} - \sqrt{5}= 3 - \sqrt{5}$
e. $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}= \sqrt{7 + 2 \sqrt12}$
= $\sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$
f. $\sqrt{18 - \sqrt{260}} = \sqrt{18 - 2 \sqrt{65}}$
= $\sqrt{13} - \sqrt{5}$
g. $p = \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}= \sqrt{4} = 2$
$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3+p}{2}} + \sqrt{\frac{3-p}{2}}$
= $\sqrt{\frac{3+2}{2}+ \frac{3-2}{2}}$
= $\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}$
= $\frac{1}{2} \sqrt{10} + \frac{1}{2} \sqrt{2}$
= $\frac{1}{2}(\sqrt{10} + \sqrt{2})$
h. $p = \sqrt{8^2 - (3 \sqrt{7})^2} = 1$
$\sqrt{8 - 3\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{8+p}{2}}- \sqrt{\frac{8-p}{2}}$
= $\sqrt{\frac{8+1}{2}} - \sqrt{\frac{8-1}{2}}$
= $\sqrt{\frac{9}{2}}- \sqrt{\frac{7}{2}}$
= $\frac{3}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{14}$
= $\frac{1}{2} (3 \sqrt{2} - \sqrt{14})$
Post a Comment for "Operasi Aljabar pada Bentuk Akar dan Pembahasan Soal"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!