Operasi Aljabar pada Bentuk Akar dan Pembahasan Soal


a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Sebelum melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, kita harus memahami terlebih dahulu tentang akar senama dan akar sejenis.

  1. Akar senama adalah akar-akar yang memiliki indeks sama. Sebagai contoh: 32, 35, 37, 319, 3x, dan sebagainya.
  2. Akar sejenis akar-akar yang memiliki indeks maupun radikan (bilangan pokok) sama. Sebagai contoh: 32, 832, 1232, x32, dan sebagainya.


Teorema:
Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan juka akar-akarnya sejenis.
  1. anc+bnc=(a+b)nc
  2. ancbnc=(ab)nc


b. Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Teorema:
Perkalian dan pembagian bentuk akar dapat dilakukan jika akar-akarnya senama.
  1. xna×ynb=xynab
  2. (anb)n=anb
  3. a×a=(a)2=a, dengan a ≥ 0
  4. xma×ynb = xmnan×ymnbm = xymnanbm
  5. xnaynb=xynab
  6. xmaynb = xmnanymnbm = xymnanbm
  7. ma×mbmc×md=mabcd

c. Akar dari Suku Dua yang Kedua Sukunya Merupakan Bentuk Akar

Teorema:
Jika a > 0, b > 0, c > 0, dan c bilangan rasional positif, maka
  1. (a+b)+2ab=a+b
  2. (a+b)2ab=ab, dengan a > b
  3. a+bc=a+p2+ap2, dengan p=a2(bc)2
  4. abc=a+p2ap2, dengan p=a2(bc)2


Contoh Soal 1
Sederhanakanlah.

a. 82+62

b. 153163

c. 35+202125

d. 3812+1812

Jawab:

a. 82+62

(8+6)2142

b. 153163

(1516)33

c. 35+202125

35+4×5225×5

35+252×55

(3+210)555

d. 3812+1812

34×24×3+18×122

6223+92

(6+9)223=15223

Contoh Soal 2

Tentukan hasil perkalian berikut dalam bentuk akar paling sederhana.

a. 7×3

b. 25×15

c. 2312×436

d. 532×43

Jawab:

a. 7×3=7×3=21

b. 25×1525×15 

252×3=2×53=103

c. 2312×436=8312×6

823×32=8×2332=1639

d. 532×43=20622×633

20622×33=206108

Contoh Soal 3

Tentukan hasil perkalian berikut dalam bentuk akar paling sederhana.

a. 3(6+23)

b. (225)42

c. (5+23)(523)

d. (532)(53+22)

e. (66+3)(232)

f. (565)2

g. (2+3+5)(2+35)

h. (2+3+5)2

i. (342)3

j. (23633)(4336+228+39)

Jawab:

a. 3(6+23)

3×6+3×23)

18+2×3=32+6

b. (225)42

22×425×42

8×2202=16202

c. (5+23)(523)

(5)2(23)2

522×3 = 5 - 12 = -7

d. (532)(53+22)

(53)2+(2+22)522×22

52×3+2×532×2

71+56

e. (66+3)(232)

66×2366×23×233×2

1218612+6332
362123+6332
33263
f. (565)2
522×5×65+(65)2
25605+180
205605
g. (2+3+5)(2+35)
(2+3)2(5)2
2+26+35=26
h. (2+3+5)2
(2)2+(3)2+(5)2+22×322×3×5
2+3+5+26+210+215
10+26+210+215

i. (342)3
(34)33(34)2×2334(2)223
46316+12348
41232+1234
j. (23633)(4336+228+39)
(236)3(33)3
23×63=45

Contoh Soal 4
Sederhanakanlah!

a. 8+215

b. 12235

c. 9+56

d. 1465

e. 7+43

f. 18260

g. 3+5 

h. 837

Jawab:

a. 8+215=5+3

b. 12235=75

c. 9+56=9+214=7+2

d. 1465=14245

95=35

e. 7+43=7+212

4+3=2+3

f. 18260=18265

135

g. p=32(5)2=4=2

3+5=3+p2+3p2

3+22+322

52+12

1210+122

12(10+2)

h. p=82(37)2=1

837=8+p28p2

8+12812

9272

3221214

12(3214)