Pangkat Pecahan dan Pembahasan Soal

a. Pangkat Pecahan $a^{\frac{1}{n}}$

Definisi;

Apabila n adalah sebuah bilangan bulat positif dan apabila a dan b sedemikian sehingga $a^n = b$, maka a dikatakan akar pangkat n dari b.

Apabila b adalah bilangan positif, maka hanya ada satu bilangan positif a sedemikian sehingga $a^n = b$. Bilangan positif itu adalah $\sqrt[n]{b}$ dan bilangan tersebut dikatakan bilangan pokok akar pangkat n dari bilangan b. \Leftrightarrow 

Jadi, $a^n = b \leftrightarrow a = \sqrt[n]{b}$

Sebagai contoh:

1. $\sqrt[4]{81}$ adalah bilangan positif yang dipangkatkan 4 sama dengan 81. Tentunya bilangan itu adalah +3, maka kita tulis $\sqrt[4]{81} = + 3$.
2. Bilangan -3 apabila dipangkatkan 4 juga sama dengan 81. Kita katakan -3 adalah akar pangkat 4 dari 81, tetapi bukan merupakan bilangan pokok dari akar 81. Apabila b negatif maka tidak ada akar pangkat n dari b yang positif, tetapi apabila n adalah ganjil maka ada sebuah akar pangkat n dari b yang negatif. Bilangan negatif ini kita katakan bilangan pokok negatif akar pangkat n dari b dan dapat kita tulis $\sqrt[n]{b}$.
3. $\sqrt[3]{-8}$ adalah bilangan yang dipangkatkan 3 sama dengan -8. Bilangan tersebut adalah -2, maka kita tulis $\sqrt[3]{-8}=-2$, bilangan -2 merupakan bilangan pokok akar pangkat 3 dari -8.
4. Andaikan n adalah bilangan genap, misal $\sqrt[4]{-81}$, maka tidak ada bilangan pokok akar pangkat n dalam bentuk bilangan real (nyata). Pada bagian lainnya akan dibahas $\sqrt[4]{-81} = 3i$, dengan $i = \sqrt{-1}$ adalah satuan imajiner (bilangan khayal).

b. Hubungan Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

Definisi:

Jika n bilangan bulat positif, a ∊ R, dan $\sqrt[n]{a}$ adalah suatu bilangan real, maka

$a^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a}$

c. Pangkat Pecahan $a^{\frac{m}{n}}$

Definisi:

Jika m dan n bilangan asli yang relatif prima (m dan n tidak memiliki faktor persekutuan selain 1) dan a ∊ R, sehingga $\sqrt[n]{a}$ adalah bilangan real, maka

1. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ atau $a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}$
2. $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$ atau $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m$ 

Definisi Nilai Mutlak:

Jika x suatu bilangan real, maka nilai mutlak dari x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai

$|x|=\left\{\begin{matrix} x, \ untuk \ x\geq 0 & \\ -x,\ untuk \ x < 0 & \end{matrix}\right.$

Sebagai contoh:

|3| = 3, |-3| = 3, $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} -2$, $|3 - \pi| = -(3 - \pi) = \pi - 3$

Teorema:

Jika x suatu bilangan real maka $\sqrt{x^2} = |x|$

Sebagai contoh, $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$ dan $\sqrt{(-5)^2}$ tidak didefinisikan.

Rumus $(a^{m})^n = a^{mn}$ untuk a < 0, m bilangan genap positif, dan n kebalikan dari bilangan genap positif perlu dimodifikasi agar berlaku definisi sebagai berikut.

Definisi:

Jika m dan n bilangan genap positif dan a ∊ R, maka

$(a^m)^{\frac{1}{n}} = |a|^{\frac{m}{n}}$ atau $\sqrt[n]{a^m} = |a|^{\frac{m}{n}}$

1. Jika m = n, maka $(a^n)^{\frac{1}{n}} = |a|$ atau $\sqrt[n]{a^n}= |a|$
2. Jika m = n = 2, maka $(a^2)^{\frac{1}{2}} =|a|$ atau $\sqrt{a^2} = |a|$

d. Pangkat Pecahan $a^{-\frac{m}{n}}$

Apabila kita menghendaki rumus $(a^m)^n = a^{mn}$ berlaku juga untuk pangkat rasional negatif, maka kita harus memiliki rumus:

$\begin{aligned}a^{-\frac{m}{n}} &= \left(a^{\frac{1}{n}} \right )^{-m}, a\neq 0 \\ &= \frac{1}{\left(a^{\frac{1}{n}} \right)^m}, a \neq 0 \ (Definisi \ pangkat \ bulat \ negatif) \end{aligned}$

Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan pangkat rasional negatif sebagai berikut.

Definisi:

Jika m dan n adalah bilangan bulat positif yang relatif prima dan a ∊ R, dengan a ≠ 0, sehingga $\sqrt[n]{a}$ bilangan real, maka

$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}= \frac{1}{\left(\sqrt[n]{a} \right)^m} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

e. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Rasional

Teorema pangkat bulat positif yang telah dibahas sebelumnya berlaku juga untuk pangkat rasional.

Contoh Soal 1

Hitunglah:

a. $36^{\frac{1}{2}}$ b. $(-27)^{\frac{1}{3}}$

c. $\left(\frac{1}{625} \right)^{\frac{1}{4}}$ d. $(-32)^{\frac{1}{5}}$

 Jawab:

a. $36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$

b. $(-27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-27} = -3$

c. $\left(\frac{1}{625} \right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \frac{1}{5}$

d. $(-32)^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{-32} = -2$

Contoh Soal 2

Tulislah dalam bentuk akar.

a. $x^{\frac{1}{2}}$ b. $y^{\frac{1}{3}}$

c. $z^{\frac{1}{10}}$

 Jawab:

a. $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ b. $y^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{y}$

c. $z^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{z}$

Contoh Soal 3

Tulislah dalam bentuk bilangan berpangkat.

a. $\sqrt{2}$ b. $\sqrt[5]{xy}$

c. $\sqrt[12]{3xyz^4}$

 Jawab:

a. $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ b. $\sqrt[5]{xy} = (xy)^{\frac{1}{5}}$

c. $\sqrt[12]{3xyz^4} = (3xyz^4)^{\frac{1}{12}}$

Contoh Soal 4

Tulislah dalam bentuk bilangan berpangkat.

a. $4^{\frac{3}{2}}$

b. $(-1.000)^{\frac{2}{3}}$

 Jawab:

a. $4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ b. $(-1.000)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-1.000})^2 = (-10)^2 = 100$

Contoh Soal 5

Tulislah dalam bentuk akar.

a. $x^{\frac{3}{4}}$ b. $y^{\frac{5}{3}}$

c. $a^{\frac{14}{5}}$

 Jawab:

a. $x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$ b. $y^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{y^5} = y \sqrt[3]{y^2}$

c. $a^{\frac{14}{5}} = \sqrt[5]{a^{14}} = a^2 \sqrt[5]{a^4}$

Contoh Soal 6

Nyatakan dalam bentuk pangkat.

a. $\sqrt[5]{x^2}$ b. $y^2 \sqrt[6]{3y^2}$

c. $x^2y \sqrt[8]{x^3y^4}$

 Jawab:

a. $\sqrt[5]{x^2} = x^{\frac{2}{5}}$

b. $y^2 \sqrt[6]{3y^2} = y^2 \left(3^{\frac{1}{6}} y^{\frac{2}{6}}\right) = 3^{\frac{1}{6}}y^{2 \frac{1}{3}}$

c. $x^2y \sqrt[8]{x^3y^4} = x^2 y \left(x^{\frac{3}{8}} y^{\frac{4}{8}}\right) = x^{2 \frac{3}{8}}y^{1 \frac{1}{2}}$

Contoh Soal 7

Hitunglah:

a. $\left[(-25)^2 \right]^{\frac{1}{2}}$ b. $\left[\sqrt[4]{(-4)^2} \right]^3$

c. $x - 1 + \sqrt{x^2 }$

 Jawab:

a. $\left[(-25)^2 \right]^{\frac{1}{2}} = |-25|^{2 \times \frac{1}{2}} = |-25| = 25$

b. $\left[\sqrt[4]{(-4)^2} \right]^3 = \left[(|-4|^2)^{\frac{1}{4}} \right]^3$

= $(4^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$

c.  ⇒ $x - 1 + \sqrt{x^2 }$

= $x - 1 + |x + 1|$, jika x ≥ -1, maka

= $x - 1 + x + 1 = 2x$

⇒ $x - 1 + \sqrt{x^2 }$

= $x - 1 + |x + 1|$, jika x < -1, maka

= $x - 1 - (x + 1) = -2$

Contoh Soal 8

Hitunglah:

a. $27^{-\frac{1}{3}}$ b. $\left(-\frac{1}{8} \right)^{- \frac{2}{3}}$

c. $0,0016^{- \frac{3}{4}}$

 Jawab:

a. $27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$

b. $\left(-\frac{1}{8} \right)^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{\left(- \frac{1}{8} \right)^{\frac{2}{3}}}$

= $\frac{1}{\left(-\frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}}= 4$

c. $0,0016^{- \frac{3}{4}} = \frac{1}{0,0016^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\left(\sqrt[4]{0,0016} \right)^3}$

= $\frac{1}{(0,2)^3} = \frac{1}{0,008}= 125$