Persamaan Pangkat Sederhana (Persamaan Eksponen) dan Pembahasan Soal

Persamaan Pangkat Sederhana

Teorema:

Jika a ∊ R, a ≠ 0, dan berlaku hubungan $a^{f(x)} = a^p$, maka f(x) = p.

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini.

a. $2^x = 16$ b. $2^{x + 1}. 3^{x - 1} = 24$ c. $\left(\frac{1}{3} \right)^{x + 1} = 9$

d. $\left(\frac{1}{3} \right)^2 \sqrt{3^{2x+1}} = 27$ e. $4^{x + 3} = \sqrt[4]{8^{x + 5}}$ f. $\sqrt[3]{(0,2)^x} = 25^{x + 1}$

Jawab:

a. $2^x = 16$

$\begin{aligned}2^x &= 16 \\ 2^x &= 2^4 \\ x &= 4\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {4}.

b. $2^{x + 1}. 3^{x - 1} = 24$

$\begin{aligned}2^{x+1}.3^{x-1} &= 24 \\ 2^x.2.3^x.3^{-1} &= 24 \\ (2.3)^x &= \frac{24 \times 3}{2} \\ 6^x &= 36 \\ 6^x &=6^2 \\ x &= 2\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

c. $\left(\frac{1}{3} \right)^{x + 1} = 9$

$\begin{aligned}\left(\frac{1}{3} \right)^{x + 1} &= 9 \\ \left(\frac{1}{3} \right)^{x + 1} &= \left(\frac{1}{3} \right )^{-2} \\ x + 1 &= -2\\ x &= -3\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-3}.

d. $\left(\frac{1}{3} \right)^2 \sqrt{3^{2x+1}} = 27$

$\begin{aligned}\left(\frac{1}{3} \right)^2 \sqrt{3^{2x+1}} &= 27 \\ 3^{-2}.3^{x+ \frac{1}{2}} &= 3^3 \\ 3^{-2+x+ \frac{1}{2}} &= 3^3\\ -1 \frac{1}{2} + x &= 3\\ x &= 4 \frac{1}{2}\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$4 \frac{1}{2}$}.

e. $4^{x + 3} = \sqrt[4]{8^{x + 5}}$

$\begin{aligned}4^{x + 3} &= \sqrt[4]{8^{x + 5}} \\ 2^{2x+6} &= 2^{\frac{3x+15}{4}} \\ 2x+6 &= \frac{3x+15}{4}\\ 8x + 24 &= 3x + 15\\ 5x &= -9 \\ x &= -\frac{9}{5}\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$- \frac{9}{5}$}.

f. $\sqrt[3]{(0,2)^x} = 25^{x + 1}$

$\begin{aligned}\sqrt[3]{(0,2)^x} &= 25^{x + 1} \\ \sqrt[3]{\left(\frac{1}{5} \right )^x} &= 5^{2(x+1)} \\ \left(\frac{1}{5} \right )^{\frac{x}{3}} &= \left(\frac{1}{5} \right )^{-2(x+1)}\\ \frac{x}{3} &= -2(x+1)\\ x &= -6x-6 \\ 7x &= -6 \\ x &= -\frac{6}{7}\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$- \frac{6}{7}$}.

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini.

a. $\sqrt{8^{3x+2}} = (16)^{\frac{3}{4}}$ b. $\left(\frac{1}{3} \right)^4 \sqrt{3^{5x+1}} = 81$ c. $2^5 \times 8^{\frac{2}{3}}= \left(\frac{1}{2} \right)^{3-2x}$

d. $5^2 \left[\left(\frac{1}{25} \right)^{2x+6} \right]^{\frac{1}{6}}= \frac{1}{25}$ e. $\frac{\sqrt[3]{9^{5x}}}{27}= \sqrt{\frac{1}{3^{x+1}}}$ f. $\sqrt[x]{\frac{1}{9^{2x}}}= \frac{(27^x)^2}{81^{x-2}}$

Jawab:

a. $\sqrt{8^{3x+2}} = (16)^{\frac{3}{4}}$

$\begin{aligned}\sqrt{8^{3x+2}} &= (16)^{\frac{3}{4}} \\ 8^{\frac{3x+2}{2}} &=16^{\frac{3}{4}} \\ 2^{3 \left(\frac{3x+2}{2} \right)} &=2^{4 \left(\frac{3}{4} \right)} \\ 3 \left(\frac{3x+2}{2} \right) &= 4 \left(\frac{3}{4} \right)\\ 3 \left(\frac{3x+2}{2} \right) & = 3 \\ 3x+2 & = 2\\ x &= 0\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0}.

b. $\left(\frac{1}{3} \right)^4 \sqrt{3^{5x+1}} = 81$

$\begin{aligned}\left(\frac{1}{3} \right)^4 \sqrt{3^{5x+1}} &= 81 \\ 3^{-4}.3^{\left(\frac{5x+1}{2} \right )} &=3^4 \\ 3^{\left(\frac{5x+1}{2} \right )-4} &= 3^4 \\ \left(\frac{5x+1}{2} \right )-4 &= 4\\ \frac{5x+1}{2} &=8\\ 5x+1 &= 16 \\ 5x &= 15 \\ x &= 3\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3}.

c. $2^5 \times 8^{\frac{2}{3}}= \left(\frac{1}{2} \right)^{3-2x}$

$\begin{aligned}2^5 \times 8^{\frac{2}{3}} &= \left(\frac{1}{2} \right)^{3-2x} \\ 2^5 \times 2^{3 \times \frac{2}{3}} &= 2^{-(3-2x)} \\ 2^{5+2} &=2^{-(3-2x)} \\ 7 &=2x-3 \\ 2x &=10 \\ x &=5\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {5}.

d. $5^2 \left[\left(\frac{1}{25} \right)^{2x+6} \right]^{\frac{1}{6}}= \frac{1}{25}$

$\begin{aligned}5^2 \left[\left(\frac{1}{25} \right)^{2x+6} \right]^{\frac{1}{6}} &= \frac{1}{25} \\ 5^2 \left[\left(\frac{1}{5^2} \right)^{2x+6} \right]^{\frac{1}{6}} &= \frac{1}{5^2} \\ 5^2 \left[5^{-2(2x+6)} \right]^{\frac{1}{6}} &= 5^{-2} \\ 5^2 \times 5^{\frac{-2(2x+6)}{6}} &= 5^{-2} \\ 5^{\frac{-(2x+6)}{3}+2} &= 5^{-2} \\ \frac{-(2x+6)}{3}+2 &= -2\\ \frac{-(2x+6)}{3} &= -4 \\ -2x -6 &=-12 \\ 2x &=6 \Rightarrow x=3\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3}.

e. $\frac{\sqrt[3]{9^{5x}}}{27}= \sqrt{\frac{1}{3^{x+1}}}$

$\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{9^{5x}}}{27} &= \sqrt{\frac{1}{3^{x+1}}} \\ \frac{9^{\frac{5x}{3}}}{27} &= \frac{1}{3^{\frac{x+1}{2}}} \\ \frac{3^{2 \times \frac{5x}{3}}}{3^3} &= \frac{1}{3^{\frac{x+1}{2}}} \\ 3^{\frac{10x}{3}-3} &= 3^{-\left(\frac{x+1}{2} \right )} \\ \frac{10x}{3}-3 &= -\left(\frac{x+1}{2} \right ) \\ \frac{10x-9}{3} &= \frac{-x-1}{2} \\ 20x - 18 &=-3x-3 \\ 23x &= 15 \Rightarrow x = \frac{15}{23}\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{15}{23}$}.

f. $\sqrt[x]{\frac{1}{9^{2x}}}= \frac{(27^x)^2}{81^{x-2}}$

$\begin{aligned}\sqrt[x]{\frac{1}{9^{2x}}} &= \frac{(27^x)^2}{81^{x-2}} \\ \frac{1}{9^{\frac{2x}{x}}} &= \frac{(27^x)^2}{81^{x-2}} \\ \frac{1}{3^{2 \times \frac{2x}{x}}} &= \frac{(3^{3x})^2}{3^{4(x-2)}} \\ 3^{-4} &= 3^{6x-4x+8} \\ -4 &=2x+8 \\ 2x &=-12 \Rightarrow x = -6\end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-6}.