Soal dan Pembahasan Bilangan Berpangkat (Eksponen)

Soal 1: Soal UM UGM 2016 Kode 371/372

Jika $a^x = b^y = c^z$ dan $b^2 = ac$. Maka x adalah . . . .

(A) $\frac{2yz}{y+z}$
(B) $\frac{2yz}{2z-y}$
(C) $\frac{2yz}{2y-z}$
(D) $\frac{yz}{2y-z}$ 

(E) $\frac{yz}{2z-y}$

PEMBAHASAN:

Dari soal $a^x = b^y = c^z$ dapat diperoleh $a^x = b^y$ atau $a^{\frac{x}{y}} = b$ dan $a^x = c^z$ atau $a^{\frac{x}{z}} = c$, karena $b^2 = ac$, maka kita dapat menuliskan sebagai 

$\begin{aligned}b^2 &= ac \\ \left(a^{\frac{x}{y}} \right )^2 &=a. a^{\frac{x}{z}}\\ \frac{2x}{y} &=1+\frac{x}{z}\\ \frac{2x}{y} &=\frac{z+x}{z}\\ 2xz &=zy+xy \\ 2xz - xy &=zy \\ x(2z-y) &=zy \\ x &= \frac{yz}{2z-y}\end{aligned}$

Jadi, jawabannya adalah (E) $\frac{yz}{2z-y}$

Soal 2: SNMPTN 2010 Kode 336

Jika n memenuhi $\underset{n \ faktor}{\underbrace{25^{0.25} \times 25^{0.25} \times ... \times 25^{0.25} \times 25^{0.25}}} = 125$, maka nilai (n - 3)(n + 2) = . . . . . . .

(A) 24
(B) 26
(C) 28
(D) 32

(E) 36

PEMBAHASAN:

$\begin{aligned} 25^{0.25} \times 25^{0.25} \times ... \times 25^{0.25} \times 25^{0.25} &= 125 \\ 5^{0.5} \times 5^{0.5} \times ... \times 5^{0.5} \times 5^{0.5} &= 5^3 \\ \left(5^{0,5} \right)^n &=5^3 \\ 0,5n &=3 \\ n &=6, \ maka \ nilai \ dari \\ (n-3)(n+2) &= (6-3)(6+2) \\ &= 24\end{aligned}$

Jadi, pilihan jawabannya (A), 24

Soal 3: SIMAK UI 2013 Kode 437

Diketahui bahwa $2^w . a^x . b^y. c^z = 2013$, untuk setiap a, b, c, d, x, y, z merupakan bilangan bulat positif dan w bilangan bulat non negatif dengan $a < b < c$. Nilai $(2w) + (ax) + (by) + (cz)$ = . . . . 

(A) 0
(B) 3
(C) 11
(D) 75

(E) 611

PEMBAHASAN:

Dari soal diketahui $2^w . a^x . b^y. c^z = 2013$, maka 

$\begin{aligned} 2^w . a^x . b^y. c^z &= 2013 \\ 2^w . a^x . b^y. c^z &= 3.11.61 \\ 2^w . a^x . b^y. c^z &= 2^0.3^1.11^1.61^1\\ \end{aligned}$

Sehingga $x = 1, y = 1, z = 1, w = 0, a = 3, b = 11, c = 61$

$\Rightarrow (2w) + (ax) + (by) + (cz)$

= $(2.0) +(3.1)+ (11.1)+(61.1)$

= $0+3+11+61 =75$

Jadi, pilihan jawabannya (D), 75

Soal 4: UM UNDIP 2016 Kode 602

Bila x = 36 dan y = 125 maka nilai $\frac{x^{-\frac{3}{2}} \sqrt[3]{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}} = . . .$

(A) $-\frac{16}{216}$
(B) $-\frac{25}{216}$
(C) $-\frac{36}{216}$
(D) $-\frac{49}{216}$

(E) $-\frac{64}{216}$

PEMBAHASAN: 

Dari soal diketahui x = 36, y = 125, maka

 $\begin{aligned} \frac{x^{-\frac{3}{2}} \sqrt[3]{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}} &= \frac{(36)^{-\frac{3}{2}} (125)^{\frac{2}{3}}}{(125)^{\frac{1}{3}}-(36)^{\frac{1}{2}}}\\ &= \frac{(6^2)^{-\frac{3}{2}}(5^3)^{\frac{2}{3}}}{(5^3)^{\frac{1}{3}}-(6^2)^{\frac{1}{2}}}\\ &= \frac{(6^{-3})(5^2)}{5-6}\\ &= \frac{25}{(-1)6^3}\\ &= -\frac{25}{216}\end{aligned}$

Jadi, pilihan jawabannya (B), $-\frac{25}{216}$

Soal 5: SPMB 2003 [Regional I]

Nilai x yang memenuhi persamaan $3^{2x+3} = \sqrt[3]{27^{x+5}}$ adalah . . . 

(A) $-2$
(B) $-1$
(C) $0$
(D) $1$

(E) $2$

PEMBAHASAN: 

$\begin{aligned} 3^{2x+3} &= \sqrt[3]{27^{x+5}} \\ 3^{2x+3} &= 27^{\frac{x+5}{3}}\\ 3^{2x+3} &= 3^{\frac{3(x+5)}{3}}\\ 2x+3 &= x+5 \\ x &=2 \end{aligned}$

Jadi, pilihan jawabannya (E), $2$

Soal 6: SIMAK UI 2012 Kode 221

Jika diketahui x dan y adalah bilangan real dengan x > 1 dan y > 0. Jika $xy = x^y$ dan $\frac{x}{y} = x^{5y}$, maka $x^2 +3y = . . . $ 

(A) $29$
(B) $28$
(C) $27$
(D) $26$ 

(E) $25$

PEMBAHASAN:

Dari soal diketahui: 

$\begin{aligned} xy &= x^y \\ y &= \frac{x^y}{x} \\ y &= x^{y-1} \\ \end{aligned}$  

$\begin{aligned} \frac{x}{y} &= x^{5y} \\ y &= \frac{x}{x^{5y}} \\ y &= x^{1-5y} \\ \end{aligned}$

dari $xy = x^y$, kita subtitusikan $y = \frac{1}{3}$, maka 

$\begin{aligned} xy &= x^y \\ x. \frac{1}{3} &=x^{\frac{1}{3}} \\ x^3. \frac{1}{3^3} &= x \\ x^2 &=3^3 \\ \end{aligned}$

sehingga $x^2 + 3y = 3^3 + 3\frac{1}{3} = 28$

Jadi, pilihan jawabannya (B), $28$

Soal 7: SPMB 2005 Kode 470

Jika $f(x) = 2^{2x} + 2^{x+1} -3$ dan $g(x) = 2^{x} + 3$, maka $\frac{f(x)}{g(x)} = . . . $ 

(A) $2^x + 3$
(B) $2^x + 1$
(C) $2^x$
(D) $2^x - 1$ 

(E) $2^x - 3$

PEMBAHASAN: 

$\begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^x + 3} \\ &= \frac{(2^x)^2 +2^x .2^1-3}{2^x + 3} \end{aligned}$ 

Untuk mempermudah penglihatan, mungkin $2^x$ sementara bisa kita ganti menjadi sama dengan k, 

$\begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^x + 3} \\ &= \frac{k^2 +2k-3}{k + 3}\\ &= \frac{(k+3)(k-1)}{k + 3}\\ &= k-1\\ \frac{f(x)}{g(x)} & = 2^x - 1\end{aligned}$

Jadi, pilihan jawabannya (D), $2^x - 1$

 

Soal 8: UM UGM 2017 Kode 814 

Jika $f(x) = b^x$, b konstanta positif, maka $\frac{f(x^2 - 1)}{g(1 - x^2)} = . . . $ 

(A) $f(1 - x^2).f(1 - x^2)$
(B) $f(1 - x^2).f(x^2 - 1)$
(C) $f(x^2 - 1).f(x^2 - 1)$
(D) $f(1 - x^2)+f(1 - x^2)$ 

(E) $f(x^2 - 1)+f(x^2 - 1)$

PENYELESAIAN: 

$\begin{aligned} \frac{f(x^2 - 1)}{g(1 - x^2)} &= \frac{b^{x^2-1}}{b^{1-x^2}} \\ &= \frac{b^{x^2}.b^{-1}}{b^1. b^{-x^2}} = \frac{b^{x^2}.b^{x^2}}{b^1.b^1} \\ &= \frac{b^{2x^2}}{b^2} = b^{2x^2-2} \\ &= b^{2(x^2 -1)} = \left(b^{x^2-1} \right )^2 \\\ &= \left(b^{x^2-1} \right )\left(b^{x^2-1} \right )\\\frac{f(x^2 - 1)}{g(1 - x^2)} &= f(x^2 -1).f(x^2-1)\end{aligned}$

Jadi, pilihan jawabannya (C), $f(x^2 - 1).f(x^2 - 1)$

Soal 9: SIMAK UI 2015 Kode 563

$\frac{2015^2(2014^2 - 2013)}{(2014^2 - 1)(2014^3 + 1)} \times \frac{2013^2(2014^2 + 2015)}{(2014^3 - 1)}= . . .$

(A) $2013 \times 2015$
(B) $2015$
(C) $2014$
(D) $2013$ 

(E) $1$

PEMBAHASAN

Misalkan m = 2014, maka 2013 = m - 1 dan 2015 = m + 1, maka

$\frac{2015^2(2014^2 - 2013)}{(2014^2 - 1)(2014^3 + 1)} \times \frac{2013^2(2014^2 + 2015)}{(2014^3 - 1)}$

= $\frac{(m+1)^2(m^2 - (m-1))}{(m^2 - 1)(m^3 + 1)} \times \frac{(m-1)^2(m^2 + (m+1))}{(m^3 - 1)}$

= $\frac{(m+1)(m + 1)(m^2 - m+1))}{(m + 1)(m-1)(m^3 + 1)} \times \frac{(m-1)(m-1)(m^2 + m+1)}{(m^3 - 1)}$

= $\frac{(m + 1)(m^2 - m+1))}{(m^3 + 1)} \times \frac{(m-1)(m^2 + m+1)}{(m^3 - 1)}$

= $\frac{(m^3 - 1)(m^3 + 1)}{(m^3 - 1)(m^3 + 1)} = 1$

Jadi, pilihan jawabannya adalah (E), 1

Jadi, pilihan jawabannya (B), $28$

Soal 10: UM UGM 2005 Kode 821

Nilai x yang memenuhi $\frac{2^x}{4^{x+2}}=16.4^x$ adalah . . .

(A) $-3$
(B) $-\frac{8}{3}$
(C) $-2$
(D) $-\frac{4}{3}$ 

(E) $-\frac{2}{3}$

PENYELESAIAN: 

$\begin{aligned} \frac{2^x}{4^{x+2}} &= 16.4^x \\ \frac{2^x}{2^{2(x+2)}} &=2^4.2^{2x} \\ 2^{x -2(x+2)} &= 2^{4+2x} \\ x-2x-4 &= 4+2x \\ 3x &=-8 \\ x &= -\frac{8}{3}\end{aligned}$

Jadi, pilihan jawabannya (B), $- \frac{8}{3}$