Pangkat Nol, Pangkat Bulat Negatif dan Notasi Ilmiah Bilangan Kecil dan Pembahasan Soal

Pangkat Nol

Definisi:

Jika a suatu bilangan real a ≠ 0, maka $a^0 = 1$

Bukti:

• Andaikan $a^m \times a^n = a^{m+n}$ berlaku untuk m = 0, maka $a^0 \times a^n = a^{0+n} = a^n$
• kita mengetahui bahwa $1 \times a^n = a^n$

Dengan membandingkan kedua hal itu, maka diperoleh

$a^0 \times a^n = 1 \times a^n$, berarti $a^0 = 1$ 

Pangkat Bulat Negatif

Definisi:

Jika a suatu bilangan real, a ≠ 0, dan n suatu bilangan bulat positif, maka 

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 

Definisi pangkat bulat negatif mengakibatkan bahwa untuk bilangan bulat positif berlaku

$a^{n} = \frac{1}{a^{-n}}$, dengan  a ≠ 0

Bukti:

Misalkan n suatu bilangan bulat positif, maka -n adalah suatu bilangan bulat negatif. Andaikan rumus $a^{m} \times a^n = a^{m +n}$ berlaku juga untuk bilangan bulat negatif m dan n, maka dengan mengambil m = -n, diperoleh

$a^{-n} \times a^n = a^{-n + n} = a^0 = 1$

$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$ 

a. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Negatif

Teorema pangkat bulat positif berlaku pula untuk pangkat bulat negatif.

b. Notasi Ilmiah Bilangan Kecil

Bilangan kecil adalah bilangan-bilangan yang berkisar antara 0 dan 1. Notasi ilmiah bilangan kecil dinyatakan $a \times 10^{-n}$ dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli. Pangkat n dapat diperoleh dari banyak pergeseran koma desimal.

Contoh Soal 1

Sederhanakanlah! 

a. $5^0$ b. $2 \times (a+2)^0$ c. $5(\frac{3}{4})^0$

d. $(-9)^0$ e. $-1.008^0 \times 100^0$ f. $(x^2-2x-6)^0$

 Jawab:

a. $5^0$ = 1

b. $2 \times (a+2)^0=2 \times 1=2$

c. $5(\frac{3}{4})^0=5 \times 1 = 5$

d. $(-9)^0=1$

e. $-1.008^0 \times 100^0=(-1) \times 1 = -1$

f. $(x^2-2x-6)^0=1$

Contoh Soal 2

Ubahlah setiap bentuk berikut ini dalam pangkat positif. 

a. $2^{-2}$ b. $5(a)^{-1}$ c. $-xy^{-3}$

d. $\frac{1}{x^{-2}}$ e. $\frac{2}{-3a^{-4}}$ f. $\frac{1}{2}x^{-5}$

 Jawab:

a. $2^{-2}= \frac{1}{2^5}$

b. $5(a)^{-1}= \frac{5}{a}$

c. $-xy^{-3} = - \frac{x}{y^3}$

d. $\frac{1}{x^{-2}} = x^2$

e. $\frac{2}{-3a^{-4}}= - \frac{2}{3}a^4$

f. $\frac{1}{2}x^{-5}= \frac{1}{2x^5}$

Contoh Soal 3

Dengan menggunakan teorema pangkat bulat, sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.

a. $3^6 \times 3^{-15}$ b. $2a^{-8} \times a^{-10}$ c. $-x^{-9} \times x^{-2}$ d. $\frac{-(-2)^{14}}{(-2)^7}$ e. $\frac{(2x+5)^6}{3(2x+5)^7}$ f. $7(-x^{-3})^6$ g. $[-5(y)^{-3}]^5$

h. $[2(x+8)^3]^{-4}$ i. $4(a^3b^{-6})^{-2}$ j. $[-2(x^8y^{-1})]^5$ k. $3[(2x-4)^{-3}y^3]^{-6}$ l. $5^6 \left( \frac{3^{-5}}{5^2} \right)^{-4}$ m. $ \left[-2 \frac{x^{-6}}{y^{-3}} \right]^4$ n. $-80 \left(\frac{-x^{-1}y^6}{2z^3} \right)^3$

 Jawab:

a. $3^6 \times 3^{-15}=3^{6-15}=3^{-9}= \frac{1}{3^9}$

b. $2a^{-8} \times a^{-10}=2(a^{-8-10})=2a^{-18}= \frac{2}{a^{18}}$

c. $-x^{-9} \times x^{-2} = (-1)(x^{-9-2})=(-1)x^{-11}= - \frac{1}{x^{11}}$

d. $\frac{-(-2)^{14}}{(-2)^7} = -(-2)^{14-7}=-[(-1) \times 2]^7$

e. $\frac{(2x+5)^6}{3(2x+5)^7} = \frac{1}{3(2x+5)^{7-6}}= \frac{1}{3(2x + 5)}$

f. $7(-x^{-3})^6=7[(-1) \times x^{-3}]^6$

$=7 \times (-1)^6 \times x^{-3 \times 6}= 7 \times 1 \times x^{-18}= \frac{7}{x^{18}}$

g. $[-5(y)^{-3}]^5= [(-1) \times 5 \times (y)^{-3}]^5$

$= (-1) \times 5^5 \times (y)^{-3 \times 5}]=(-1) \times 5^5 \times y^{-15} = - \frac{3.125}{y^{15}}$

h. $[2(x+8)^3]^{-4} = 2^{-4}(x + 8)^{3 \times -4}$

$= 2^{-4}(x + 8)^{-12}= \frac{1}{2^4(x + 8)^{12}}$

i. $4(a^3b^{-6})^{-2} = 4a^{3 \times (-2)b^{-6 \times (-2)}}=4a^{-6}b^{12}= \frac{4b^{12}}{a^6}$

j. $[-2(x^8y^{-1})]^5 = [(-1)(2)(x^8 y^{-1})]^5$

$= (-1)^5 (2)^5(x^{8 \times 5} y^{-1 \times 5}) = (-1)(32)x^{40}y^{-5}= -\frac{32x^{40}}{y^5}$

k. $3[(2x-4)^{-3}y^3]^{-6} = 3(2x-4)^{-3 \times (-6)y^{3 \times (-6)}}$

$=3(2x - 4)^{18}y^{-18}= \frac{3(2x-4)^{18}}{y^{18}}$

l. $5^6 \left( \frac{3^{-5}}{5^2} \right)^{-4} = 5^6 \times \frac{3^{-5 \times (-4)}}{5^{2 \times (-4)}}$

$=5^6 \times \frac{3^{20}}{5^{-8}}= 5^{6+8} \times 3^{20} = 5^{14}3^{20}$

m. $ \left[-2 \frac{x^{-6}}{y^{-3}} \right]^4 = = (-1)^4 2^4 \frac{x^{-6 \times 4}}{y^{-3 \times 4}}$

$=1.16. \frac{x^{-24}}{y^{-12}}= \frac{16y^{12}}{x^{24}}$

n. $-80 \left(\frac{-x^{-1}y^6}{2z^3} \right)^3=-80 \left[\frac{(-1)x^{-1}y^6}{2z^3} \right]^3$

$=-80 \frac{(-1)^3x^{-1 \times 3}y^{6 \times 3}}{2^3 z^{3 \times 3}}$

$=-80 \frac{(-1)x^{-3}y^{18}}{8 z^{9}}= \frac{10y^{18}}{x^3z^9}$

Contoh Soal 4

Buktikan bahwa:

a. $\frac{a^{-2}-b^{-2}}{ab^{-1}-a^{-1}b}= -\frac{1}{ab}$

b. $(e^x + 1)(e^x - 1)(e^{2x} + 1)(e^{4x} + 1)(e^{8x}+1)= e^{16x}-1$

c. $\frac{(4x^3)^{-2}(16x^{-2})^2}{(8x^{-1})^2(2x^2)^{-3}}=0,02$, untuk x = 10

Jawab:

a. $\frac{a^{-2}-b^{-2}}{ab^{-1}-a^{-1}b}$

= $\frac{a^{-2}-b^{-2}}{ab^{-1}-a^{-1}b} \times \frac{a^2b^2}{a^2b^2}$

= $\frac{a^0b^2 - a^2b^0}{a^3b-ab^3}$

= $\frac{b^2-a^2}{a^3b-ab^3}$

= $\frac{-(a^2 - b^2)}{ab(a^2-b^2)}=- \frac{1}{ab}$, TERBUKTI.

b. $(e^x + 1)(e^x - 1)(e^{2x} + 1)(e^{4x} + 1)(e^{8x}+1)$

=$(e^{2x} - 1)(e^{2x} + 1)(e^{4x} + 1)(e^{8x} + 1)$

=$(e^{4x} - 1)(e^{4x} + 1)(e^{8x} + 1)$

=$(e^{8x} - 1)(e^{8x} + 1)= e^{16x} -1$

c. untuk x = 10, $\frac{(4x^3)^{-2}(16x^{-2})^2}{(8x^{-1})^2(2x^2)^{-3}}$

=$\frac{(2^2 \times 10^3)^{-2}(2^4 \times 10^{-2})^2}{(2^3 \times 10^{-1})^2(2 \times 10^2)^{-3}}$ 

=$\frac{2^{-4} \times 10^{-6} \times 2^8 \times 10^{-4}}{2^6 \times 10^{-2} \times 2^{-3} \times 10^{-6}}$ 

=$\frac{2^{-4+8-6+3}}{10^{-2-6+6+4}}= \frac{2}{100}=0,02$ 

Contoh Soal 5

Jika $\frac{(0,12)^4 (0,243)^6}{(1,8)^{10}} = \frac{2^a3^b}{5^c}$, carilah nilai dari 2a - b + 2c.

Jawab: 

$\begin{aligned} \frac{(0,12)^4 (0,243)^6}{(1,8)^{10}} &= \frac{2^a3^b}{5^c}\\ \frac{\left(\frac{12}{100} \right)^4 \left( \frac{243}{100} \right)^6}{ \left( \frac{18}{10} \right)^{10}} &= \frac{2^a3^b}{5^c}\\ \frac{\frac{12^4}{10^8} \frac{243^6}{10^{18}}}{\frac{10^{18}}{10^{10}}} &= \frac{2^a3^b}{5^c} \\ \frac{12^4 \times 243^6}{18^{10} \times 10^{16}} &= \frac{2^a3^b}{5^c} \\ \frac{(2^2 \times 3)^4 (3^5)^6}{(2 \times 3^2)^{10}(2 \times 5)^{16}} &= \frac{2^a3^b}{5^c} \\ \frac{2^{-18}3^{14}}{5^{16}} &= \frac{2^a3^b}{5^c}\end{aligned}$

dari persamaan ini kita peroleh a = -18, b = 14 dan c = 16, maka

2a - b + 2c = 2(-18) - 14 + 2(16) = -18