Bilangan Rasional, Bilangan Irasional, Bentuk Akar dan Pembahasan Soal

 

1. Himpunan Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan yang anggotanya memiliki $\frac{m}{n}$, dengan m dengan bilangan bulat dan n bilangan asli. Ada dua kemungkinan yang dapat terjadi:

1. Jika m habis dibagi n, maka $\frac{m}{n}$ adalah bilangan bulat,
2. Jika m tidak habis dibagi n, maka $\frac{m}{n}$ adalah bilangan pecahan

Dengan demikian, bilangan rasional memuat himpunan bilangan bulat dan bilangan pecahan dengan kedua himpunan ini saling lepas.

Penulisan bilangan pecahan dalam bentuk $\frac{pembilang}{penyebut}$, dengan syarat penyebut tidak bernilai nol serta pembilang dan penyebut tidak memiliki faktor persekutuan. Sebagai contoh,

$5 \frac{15}{25}$ ditulis $5 \frac{3}{5}$ dan $- \frac{64}{36}$ ditulis $-1 \frac{7}{9}$

2. Bentuk Desimal Berulang dari Bilangan Rasional

Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam bentuk desimal berulang, misalnya:

a. $\frac{2}{3}=0,6666...$

b. $\frac{2}{2.220}=0,00135135...$

Catatan: 

Penulisan $\frac{3}{2}=0,6666...$ dapat disingkat $0,\overline{6}$; $\frac{2}{2.220}=0,00135135...$...dapat disingkat $0,00\overline{135}$

3. Himpunan Bilangan Irasional

Suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan menggunakan bilangan rasional (hasil bagi dua bilangan bulat atau desimal berulang) dinamakan bilangan irasional.

Jadi, x adalah bilangan irasional jika $x\neq \frac{m}{n}$, dengan m bilangan bulat dan n bilangan asli.

Berikut ini adalah beberapa bilangan irasional,

𝜋 = 3,141592654..., e = 2,7182818284590..., $\sqrt{2}$ = 1,4141...,

log 2 = 0,301 ..., dan sebagainya.

Bilangan rasional adalah bilangan yang terukur sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak terukur. Apabila kita menggunakan bilangan irasional dalam suatu perhitungan, kita dapat mengambil pendekatan sesuai dengan kebutuhan, misalkan $\sqrt{3}$ = 1,7 (satu desimal) atau $\sqrt{3}$ = 1,7321 (empat desimal), dan sebagainya. Anggota bilangan irasional yang paing banyak adalah bilangan bentuk akar.

4. Bentuk Akar

Bentuk akar atau radikal adalah pernyataan berbentuk $\sqrt[n]{a}$ yang berarti akar pangkat n bilangan a. Bilangan n adalah indeks atau tingkat akar dari radikal dan bilangan a adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), sedangkan $\sqrt[n]{}$ dinamakan tanda akar. Apabila n = 2, maka indeksnya dihilangkan, sehingga $\sqrt{a}$ memiliki arti $\sqrt[2]{a}$.

Definisi:

Jika n bilangan asli dengan n > 1 dan a ∊ R, maka akar pangkat n bilangan a ditulis $\sqrt[n]{a}$ didefinisikan sebagai berikut.

1. $\sqrt[n]{a}$ adalah akar pangkat n yang positif dari a, dengan a > 0.
2. $\sqrt[n]{a}$ adalah akar pangkat n yang negatif dari a, dengan a < 0 dan n bilangan ganjil.
3. $\sqrt[n]{0}=0$.

Contoh Soal 1

Carilah bilangan pecahan dari

a. $0,\overline{4}$ b. $0,\overline{7836}$

c. $0,0\overline{27}$ d. $6,\overline{305}$

 Jawab:

a. Misalnya x = $0,\overline{4}$ = 0,4444 ..., maka

\[ \frac { \!\begin{aligned} x &= 0,4444 ...\\ 10x &= 4,4444 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} -9x &= -4 \\ x &= \frac{-4}{-9} = \frac{4}{9}\blacksquare \end{aligned} } \ - \]

Jadi, bilangan pecahan $0,\overline{4}$ adalah $\frac{4}{9}$

b. Misalkan x = $0,\overline{7836}$ = 0,78367836..., maka 

\[ \frac { \!\begin{aligned} x &= 0,783678367836 ...\\ 10.000x &= 7836,783678367836... \end{aligned} } { \!\begin{aligned} -9.999x &= -7.836 \\ x &= \frac{-7.836}{-9.999} = \frac{2.612}{3.333}\blacksquare \end{aligned} } \ - \]

Jadi, bilangan pecahan $0,\overline{7836}$ adalah $\frac{2.612}{3.333}$

c. Misalkan x = $0,0\overline{27}$ = 0,02727..., maka 

\[ \frac { \!\begin{aligned} 10x &= 0,272727...\\ 1.000x &= 27,272727... \end{aligned} } { \!\begin{aligned} -990x &= -27 \\ x &= \frac{-27}{-990} = \frac{3}{110}\blacksquare \end{aligned} } \ - \]

Jadi, bilangan pecahan $0,0\overline{27}$ adalah $\frac{3}{110}$

d. Misalkan x = $6,\overline{305}$ = 6,305305..., maka 

\[ \frac { \!\begin{aligned} x &= 6,305305...\\ 1.000x &= 6.305,305305... \end{aligned} } { \!\begin{aligned} -999x &= -6.299 \\ x &= \frac{-6.299}{-999} =6 \frac{305}{999}\blacksquare \end{aligned} } \ - \]

Jadi, bilangan pecahan $6,\overline{305}$ adalah $6\frac{305}{999}$

Contoh Soal 2

Manakah dari bilangan-bilangan berikut ini yang merupakan bentuk akar dan bukan bentuk akar?

a. $\sqrt{16}$ b. $\sqrt{25}$ c. $\sqrt[3]{-27}$

d. $\sqrt{3}$ e. $\sqrt[5]{24}$ f. $3\sqrt{8}$

 Jawab:

a. $\sqrt{16}$ bukan bentuk akar, sebab $\sqrt{16} = \sqrt{4^2}=4$

b. $\sqrt{25}$ bukan bentuk akar, sebab $\sqrt{25} = \sqrt{5^2}=5$

c. $\sqrt[3]{-27}$ bukan bentuk akar, sebab $\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$

d. $\sqrt{3}$ bentuk akar

e. $\sqrt[5]{24}$ bentuk akar

f. $3\sqrt{8}$ bentuk akar, sebab 

$3\sqrt{8} = 3 \sqrt{2^2. 2} = 3. 2 \sqrt{2}=6 \sqrt{2}$

Catatan:

Bedakan bahwa $\sqrt{16} = 4$ bukan $\sqrt{16} = \pm4$.

Akan tetapi, jika $x^2 = 16$, maka $x= \pm \sqrt{16} = \pm 4$.

Dari uraian di atas dapat dikemukan bahwa bentuk akar dari bilangan rasional yang hasilnya adalah bilangan irrasional. Setiap bentuk akar adalah bilangan irrasional, tetapi tidak setiap akar dari suatu bilangan adalah bilangan irrasional.