Pembahasan Soal Penerapan Turunan Fungsi pada Masalah Bisnis atau Ekonomi

Contoh Soal 1

Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari, maka biaya proyek per hari menjadi $\left ( 3x+\frac{1200}{x}-60 \right )$ juta rupiah. Tentukan biaya minimum dari proyek tersebut.

Jawab:

Biaya proyek per hari:

$b(x)= \left ( 3x+\frac{1200}{x}-60 \right )$ juta rupiah

Biaya proyek dalam x hari:

B(x) = x. b(x)

B(x) = x$\left ( 3x+\frac{1200}{x}-60 \right )$

B(x) = $\left ( 3x+\frac{1200}{x}-60 \right )$ juta rupiah

Turunan pertama dan kedua dari B(x) adalah B'(x) = 6x - 60 dan B'(x) = 6.

Nilai stasioner fungsi B(x) dicapai jika B'(x) = 0, maka

6x - 60 = 0 → x = 10

Karena untuk x = 10 mengakibatkan B''(10) = 6 > 0 menurut uji turunan kedua, fungsi B(x) mempunyai nilai balik minimum di x = 10 dan nilai balik minimum itu adalah

B(10) = $\left ( 3.10+\frac{1200}{10}-60 \right )=90$

Jadi, biaya proyek minimum adalah 90 juta rupiah.

Contoh Soal 2

Biaya bahan bakar untuk menjalankan sebuah lokomotif sebanding dengan kuadrat kecepatannya. Biaya bahan bakar untuk menjalankan lokomotif dengan kecepatan 40 km/jam adalah Rp 250.000,00 setiap jamnya. Jika biaya operasinya setiap jam Rp 1000.000,00, carilah kecepatan lokomotif yang biaya perjalanan per kilometer paling ekonomis. Hitunglah biaya perjalanan per kilometer paling ekonomis itu.

Jawab:

v = kecepatan lokomotif dalam km/jam = 40 km/jam

B = biaya bahan bakar per jam dalam rupiah.

C = biaya total per kilometer dalam rupiah.

k = konstanta perbandingan antara B dan $v^2$.

Biaya bahan bakar:

B = k$v^2$, dengan k > 0

250.000 = k $\times 40^2$

$k = \frac{625}{4}$

Biaya total per kilometer adalah biaya bahan bakar ditambah biaya operasi per jam dibagi oleh kecepatan:

$C(v)=\frac{B+1.000.000}{v}$

$C(v)=\left (\frac{\frac{625}{4}v^2+1.000.000}{v} \right)$

$C(v)=\frac{625}{4}v + \frac{1.000.000}{v}$

Titik stasioner fungsi C(v) dicapai jika C'(v) = 0, maka

$\frac{625}{4}- \frac{1.000.000}{v^2}=0$

$\frac{625v^2 -4.000.000}{4v^2}=0$

$625v^2 -4.000.000=0$

$v^2=6.400$

v = 80 (karena v > 0)

Karena untuk v = 80, maka

$c''(80)=\frac{2.000.000}{80^3}>0$

menurut uju turunan kedua, fungsi C(v) mempunyai nilai balik minimum, maka C(80) adalah nilai minimum mutlak fungsi C pada selang (0, ∞).

Jadi, kecepatan lokomotif yang biaya perjalanan per kilometer paling ekonomis adalah $v_{min}= 80$ km/jam

Biaya perjalanan per kilometer paling ekonomis itu adalah

$C(min)=C(80)=\frac{625}{4}(80) + \frac{1.000.000}{(80)}$ = Rp 25.000,00