Pembahasan Soal Penerapan Turunan Fungsi pada Masalah Geometri

Contoh Soal 1

Persegi panjang manakah yang mempunyai luas tersebut, jika kelilingnya 400 cm?

Jawab:

Misalkan sisi-sisi persegi panjang itu adalah x cm dan y cm, sedangkan luasnya L(x) maka

Keliling persegi panjang = 400 cm

2x + 2y = 400

y = 200 - x

Luas persegi panjang adalah L(x) = xy, maka

y = 200 - x 

→ L(x) = xy

→ L(x) = x(200-x)

→ $L(x)=200x-x^2$

Turunan pertama dan kedua dari fungsi L(x) adalah

L'(x) = 200 - 2x dan L''(x) = -2.

Titik stasioner dari fungsi L(x) dicapai jika L'(x) = -2 < 0, maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi L(x) mencapai nilai balik maksimum di x = 100 dan nilai balik maksimum adalah

$L(100)=200(100)-(100)^2 = 10000$

Untuk x = 100, maka y = 200 - 100 = 100.

Jadi, persegi panjang yang dimaksud adalah persegi yang mempunyai panjang sisi 100 cm, sehingga luas maksimumnya adalah 10000 cm².

Contoh Soal 2

Diketahui 𝜟ABC sama kaki, dengan alasan AB = 10 cm dan tinggi = 6 cm. Dalam segitiga ini dibuat persegi panjang yang sebuah sisinya pada AB dan sisi-sisi yang lainnya mempunyai titik-titik sudut pada AC dan BC. Tentukan panjang dan lebar persegi panjang yang mempunyai luas tersebut. Hitunglah luasnya.

Jawab:

Misalkan persegi panjang itu adalah PQRS dengan PQ = x dan QR = y, maka

Luas persegi panjang PQRS

= luas 𝜟ABC - 2 x luas  𝜟APS - luas 𝜟SRC

xy = $\frac{1}{2}$(10)(6) - 2($\frac{1}{2}$)AP(PS) - ($\frac{1}{2}$)(SR)(CM) 

xy = 30 - $\frac{1}{2}$(10 - x)y - $\frac{1}{2}$x(6 - y)

xy = 30 - 5y + $\frac{1}{2}$xy -3x + $\frac{1}{2}$xy

xy = 30 - 5y - 3x + xy

0 = 30 - 5y - 3x

$y = 6 -\frac{3}{5}x$

L(x) = luas persegi panjang PQRS = xy

L(x) = x(6 - $\frac{3}{5}$x)

L(x) = 6x - $\frac{3}{5}x^2$

Turunan pertama dan kedua dari L(x) terhadap x adalah

L'(x) = 6 - $\frac{6}{5}x$ dan L''(x) = $-\frac{6}{5}$

Titik stasioner dari fungsi L(x) dicapai jika L'(x) = 0, maka

$6-\frac{6}{5}x=0$ → x = 5

Karena untuk x = 5, maka L''(5) = $-\frac{6}{5}<0$, bedasarkan uji turunan kedua, fungsi L(x) mencapai nilai balik maksimum di x = 5 dan nilai balik maksimumnya adalah

L(5) = 6(5) - $\frac{3}{5}(5)^2$ = 15

untuk x = 5, maka y = 6 - $\frac{3}{5}(5)$ = 3.

Jadi, persegi panjang yang diminta mempunyai panjang 5 cm dan lebar 3 cm.

Luas persegi panjang itu adalah $15 cm^2$