Pembahasan Soal Penerapan Turunan Fungsi pada Masalah Bilangan
Contoh Soal 1
Jumlah dua buah bilangan adalah 100. Carilah hasil kali dua bilangan itu yang terbesar.
Jawab:
Misalkan dua buah bilangan itu adalah x dan y, dengan x + y = 100.
Misalkan hasil kali dua bilangan itu P(x)
Hasil kali dua bilangan itu:
P(x) = xy
y = 100 - x, maka
⇒ P(x) = xy = x(100 - x)
⇒ $P(x)=100x-x^2$
dengan 0 ≤ x ≤ 100
Kita akan menentukan nilai maksimum mutlak dari fungsi P(x).
Turunan pertama dan kedua dari P(x) terhadap x adalah
P'(x) = 100 - 2x dan P''(x) = -2
Titik stasioner dari fungsi P(x) tercapai jika P'(x) = 0, maka
100 - 2x = 0 → x = 50
Karena untuk x = 50, P''(50) = -2 < 0 maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi P(x) mencapai nilai balik maksimum (maksimum lokal) di x = 50, dan nilai balik maksimumnya adalah
⇒ $P(50)=100(50)-(50)^2 =2500$
Untuk x = 50, maka y = 100 - 50 = 50.
Jadi, hasil kali dua bilangan itu yang terbesar adalah P = 2500 yang dicapai untuk x = 50 dan y = 50.
Contoh Soal 2
Diberikan bilangan x dan y yang memenuhi hubungan x + 2y = 6. Hitunglah nilai minimum dari $x^2 - y^2$.
Jawab:
x + 2y = 6 ⇒ y = $-\frac{1}{2}x + 3$
Misalkan $P(x)=x^2 -y^2$, maka
⇒ $P(x)=x^2 - y^2$
⇒ $P(x)=x^2 - (-\frac{1}{2}x + 3)^2$
⇒ $P(x)=x^2 - \frac{1}{4}x^2 + 3x - 9$
⇒ $P(x)= \frac{3}{4}x^2 + 3x - 9$
Turunan pertama dan kedua dari P terhadap x adalah
$P'(x)= \frac{3}{2}x + 3$ dan $P'' = \frac{3}{2}$
Titik stasioner dari fungsi P(x) dicapai jika P'(x) = 0, maka
$\frac{3}{2}x + 3 = 0$ → x = -2
Karena untuk x = -2, P''(-2) = $\frac{3}{2} > 0$ maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi P(x) mencapai nilai balik minimum di x = -2 dan nilai balik minimumnya adalah
⇒ $P(-2)= \frac{3}{4}(-2)^2 + 3(-2) - 9=-12$
untuk x = -2, maka $y = -\frac{1}{2}(-2) + 3 = 4$
Nilai minimum P(x) dapat dihitung juga sebagai berikut ini.
x = -2 dan y = 4
$P = x^2 - y^2=(-2)^2-(4)^2=-12$
Jadi, nilai minimum dari $x^2 - y^2$ adalah -12 yang dicapai pada x = -2 dan y = 4.
Post a Comment for "Pembahasan Soal Penerapan Turunan Fungsi pada Masalah Bilangan"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!