Pembahasan Soal Penerapan Turunan Fungsi pada Masalah Bilangan

Contoh Soal 1

Jumlah dua buah bilangan adalah 100. Carilah hasil kali dua bilangan itu yang terbesar.

Jawab:

Misalkan dua buah bilangan itu adalah x dan y, dengan x + y = 100.

Misalkan hasil kali dua bilangan itu P(x)

Hasil kali dua bilangan itu:

P(x) = xy

y = 100 - x, maka

⇒ P(x) = xy = x(100 - x)

⇒ $P(x)=100x-x^2$

dengan 0 ≤ x ≤ 100

Kita akan menentukan nilai maksimum mutlak dari fungsi P(x).

Turunan pertama dan kedua dari P(x) terhadap x adalah

P'(x) = 100 - 2x dan P''(x) = -2

Titik stasioner dari fungsi P(x) tercapai jika P'(x) = 0, maka

100 - 2x = 0 → x = 50

Karena untuk x = 50, P''(50) = -2 < 0 maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi P(x) mencapai nilai balik maksimum (maksimum lokal) di x = 50, dan nilai balik maksimumnya adalah 

⇒ $P(50)=100(50)-(50)^2 =2500$

Untuk x = 50, maka y = 100 - 50 = 50.

Jadi, hasil kali dua bilangan itu yang terbesar adalah P = 2500 yang dicapai untuk x = 50 dan y = 50.

Contoh Soal 2

Diberikan bilangan x dan y yang memenuhi hubungan x + 2y = 6. Hitunglah nilai minimum dari $x^2 - y^2$.

Jawab:

x + 2y = 6 ⇒ y = $-\frac{1}{2}x + 3$

Misalkan $P(x)=x^2 -y^2$, maka

⇒ $P(x)=x^2 - y^2$

⇒ $P(x)=x^2 - (-\frac{1}{2}x + 3)^2$

⇒ $P(x)=x^2 - \frac{1}{4}x^2 + 3x - 9$

⇒ $P(x)= \frac{3}{4}x^2 + 3x - 9$

Turunan pertama dan kedua dari P terhadap x adalah

$P'(x)= \frac{3}{2}x + 3$ dan $P'' = \frac{3}{2}$

Titik stasioner dari fungsi P(x) dicapai jika P'(x) = 0, maka

$\frac{3}{2}x + 3 = 0$ → x = -2

Karena untuk x = -2, P''(-2) = $\frac{3}{2} > 0$ maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi P(x) mencapai nilai balik minimum di x = -2 dan nilai balik minimumnya adalah

⇒ $P(-2)= \frac{3}{4}(-2)^2 + 3(-2) - 9=-12$

untuk x = -2, maka $y = -\frac{1}{2}(-2) + 3 = 4$

Nilai minimum P(x) dapat dihitung juga sebagai berikut ini.

x = -2 dan y = 4

$P = x^2 - y^2=(-2)^2-(4)^2=-12$

Jadi, nilai minimum dari $x^2 - y^2$ adalah -12 yang dicapai pada x = -2 dan y = 4.