Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Widget Atas Posting

Teorema L'Hospital dan Pembahasan Soal


Turunan Fungsi dapat dimanfaatkan dalam proses perhitungan limit fungsi. Strateginya dikenal sebagai Teorema L'Hospital (dibaca loupital) yang dirancang untuk bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$. Bentuk tak tentu lainnya dapat dialihkan ke bentuk ini.

Teorema L'Hospital

Misalkan $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)= 0$ atau 

$\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)= \pm \infty$

Jika $\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L, \infty$ atau $- \infty$, maka

$\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Dalam kasus $\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ masih mempunyai bentuk tentu, maka proses perhitungan diteruskan dengan menggunakan turunan kedua

$\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f''(x)}{g''(x)}=...$

demikian seterusnya sehingga diperoleh nilai limitnya.

Catatan$x\rightarrow c^{-}$, $x\rightarrow c^{+}$, $x\rightarrow \infty$, atau $x\rightarrow - \infty$.

Contoh Soal 1

Hitunglah setiap limit berikut ini!

a. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x-3}$ 

b. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-4x^2+5x-2}{x^4+x^3-2x^2-3x+3}$

c. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(3-2x)^2-9}{x}$  

d. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sqrt{9-x}-3}$ 

e.  $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{tan\pi x}$

f. $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{sinx-x}{tanx-x}$ 

g. $\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{cosx+cos2x}{xsin^2x}$

h. $\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{tan2x-2x}{x^3}$

i. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos3x}{sin^2x}$ 

Jawab:

a. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:

$\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{3x^2}{1}=3(3)^2=27$

b. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-4x^2+5x-2}{x^4+x^3-2x^2-3x+3}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2-8x+5}{4x^3+3x^2-4x-3}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{6x-8}{12x^2+6x-4}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{6(1)-8}{12(1)^2+6(1)-4}=-\frac{1}{7}$

c. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(3-2x)^2-9}{x}$  

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2(3-2x)(-2)}{1}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2(3-2.0)(-2)}{1} = -12$ 

d. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sqrt{9-x}-3}$ 

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2}{\frac{-1}{2 \sqrt{9-1}}}$ 

=$-4 \sqrt{9-0}=-12$ 

e.  Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{tan\pi x}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2x}{\pi sec^2 \pi x}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2x cos^2 \pi x}{\pi}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2.2.1^2}{\pi}=\frac{4}{\pi}$

f.  Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-x}{tanx-x}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{sec^2 x-1}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{\frac{sin^2 x}{cos^2 x}}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cos^2 x(1-cosx)}{(1-cosx)(1 + cosx)}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cos^2 x}{1 + cosx}$

$\frac{-cos^2 0}{1+cos0}=\frac{-1^2}{1 + 1}= \frac{1}{2}$

g. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital dua kali diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{cosx+cos2x}{xsin^2x}$

$\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-sinx-2sin2x}{sin^2 x+2xsinxcosx}$

$\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-sinx-2sin2x}{sin^2 x+xsin2x}$

$\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-cosx-4cos2x}{2sinxcosx+sin2x+2xcos2x}$

$\frac{-cos \pi-4cos2 \pi}{2sin \pi cos \pi +sin2 \pi+2 \pi cos2 \pi}$

$\frac{-(-1)-4(1)}{2(0) (-1) +0+2 \pi (0)}=-\frac{3}{2 \pi}$

h. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital dua kali diperoleh: 
$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{tan2x-2x}{x^3}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{2sec^2 2x-2}{3x^2}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{2tan^2 2x}{3x^2}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{2.2.tan2x. 2.sec^ 2x}{6x}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{8sec^2 2x tan2x}{6x}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left (\frac{8sec^2 2x }{3}  \right )\times \lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{tan2x}{2x}$
=$\frac{8sec^2 .0 }{3}  \times (1)=\frac{8}{3}$

i. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital dua kali diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos3x}{sin^2x}$ 

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx+3sin3x}{2sinxcosx}$ 

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx+3sin3x}{sin2x}$ 

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cosx+9cos3x}{2cos2x}$

=$\frac{-cos0+9cos0}{2cos0}=\frac{-1+9}{2}=4$  

Silakan Klik Jika beri Komentar

Post a Comment for "Teorema L'Hospital dan Pembahasan Soal"