Teorema L'Hospital dan Pembahasan Soal

Turunan Fungsi dapat dimanfaatkan dalam proses perhitungan limit fungsi. Strateginya dikenal sebagai Teorema L'Hospital (dibaca loupital) yang dirancang untuk bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$. Bentuk tak tentu lainnya dapat dialihkan ke bentuk ini.

Teorema L'Hospital

Misalkan $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)= 0$ atau 

$\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)= \pm \infty$

Jika $\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L, \infty$ atau $- \infty$, maka

$\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Dalam kasus $\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ masih mempunyai bentuk tentu, maka proses perhitungan diteruskan dengan menggunakan turunan kedua

$\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f''(x)}{g''(x)}=...$

demikian seterusnya sehingga diperoleh nilai limitnya.

Catatan: $x\rightarrow c^{-}$, $x\rightarrow c^{+}$, $x\rightarrow \infty$, atau $x\rightarrow - \infty$.

Contoh Soal 1

Hitunglah setiap limit berikut ini!

a. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x-3}$  b. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-4x^2+5x-2}{x^4+x^3-2x^2-3x+3}$ c. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(3-2x)^2-9}{x}$   d. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sqrt{9-x}-3}$  e.  $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{tan\pi x}$

f. $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{sinx-x}{tanx-x}$  g. $\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{cosx+cos2x}{xsin^2x}$ h. $\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{tan2x-2x}{x^3}$ i. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos3x}{sin^2x}$

Jawab:

a. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:

$\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{3x^2}{1}=3(3)^2=27$

b. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-4x^2+5x-2}{x^4+x^3-2x^2-3x+3}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2-8x+5}{4x^3+3x^2-4x-3}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{6x-8}{12x^2+6x-4}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{6(1)-8}{12(1)^2+6(1)-4}=-\frac{1}{7}$

c. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(3-2x)^2-9}{x}$  

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2(3-2x)(-2)}{1}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2(3-2.0)(-2)}{1} = -12$ 

d. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sqrt{9-x}-3}$ 

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2}{\frac{-1}{2 \sqrt{9-1}}}$ 

=$-4 \sqrt{9-0}=-12$ 

e.  Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{tan\pi x}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2x}{\pi sec^2 \pi x}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2x cos^2 \pi x}{\pi}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2.2.1^2}{\pi}=\frac{4}{\pi}$

f.  Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-x}{tanx-x}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{sec^2 x-1}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{\frac{sin^2 x}{cos^2 x}}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cos^2 x(1-cosx)}{(1-cosx)(1 + cosx)}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cos^2 x}{1 + cosx}$

= $\frac{-cos^2 0}{1+cos0}=\frac{-1^2}{1 + 1}= \frac{1}{2}$

g. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital dua kali diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{cosx+cos2x}{xsin^2x}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-sinx-2sin2x}{sin^2 x+2xsinxcosx}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-sinx-2sin2x}{sin^2 x+xsin2x}$

= $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-cosx-4cos2x}{2sinxcosx+sin2x+2xcos2x}$

= $\frac{-cos \pi-4cos2 \pi}{2sin \pi cos \pi +sin2 \pi+2 \pi cos2 \pi}$

= $\frac{-(-1)-4(1)}{2(0) (-1) +0+2 \pi (0)}=-\frac{3}{2 \pi}$

h. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital dua kali diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{tan2x-2x}{x^3}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{2sec^2 2x-2}{3x^2}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{2tan^2 2x}{3x^2}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{2.2.tan2x. 2.sec^ 2x}{6x}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{8sec^2 2x tan2x}{6x}$

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left (\frac{8sec^2 2x }{3}  \right )\times \lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{tan2x}{2x}$

=$\frac{8sec^2 .0 }{3}  \times (1)=\frac{8}{3}$

i. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital dua kali diperoleh: 

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos3x}{sin^2x}$ 

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx+3sin3x}{2sinxcosx}$ 

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx+3sin3x}{sin2x}$ 

=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cosx+9cos3x}{2cos2x}$

=$\frac{-cos0+9cos0}{2cos0}=\frac{-1+9}{2}=4$