Teorema L'Hospital dan Pembahasan Soal
Turunan Fungsi dapat dimanfaatkan dalam proses perhitungan limit fungsi. Strateginya dikenal sebagai Teorema L'Hospital (dibaca loupital) yang dirancang untuk bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$. Bentuk tak tentu lainnya dapat dialihkan ke bentuk ini.
Misalkan $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)= 0$ atau
$\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)= \pm \infty$
Jika $\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L, \infty$ atau $- \infty$, maka
$\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
$\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f''(x)}{g''(x)}=...$
demikian seterusnya sehingga diperoleh nilai limitnya.
Catatan: $x\rightarrow c^{-}$, $x\rightarrow c^{+}$, $x\rightarrow \infty$, atau $x\rightarrow - \infty$.
Contoh Soal 1
Hitunglah setiap limit berikut ini!
a. $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x-3}$ b. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-4x^2+5x-2}{x^4+x^3-2x^2-3x+3}$ c. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(3-2x)^2-9}{x}$ d. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sqrt{9-x}-3}$ e. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{tan\pi x}$ | f. $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{sinx-x}{tanx-x}$ g. $\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{cosx+cos2x}{xsin^2x}$ h. $\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\frac{tan2x-2x}{x^3}$ i. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos3x}{sin^2x}$ |
a. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:
$\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{3x^2}{1}=3(3)^2=27$
b. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-4x^2+5x-2}{x^4+x^3-2x^2-3x+3}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2-8x+5}{4x^3+3x^2-4x-3}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{6x-8}{12x^2+6x-4}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{6(1)-8}{12(1)^2+6(1)-4}=-\frac{1}{7}$
c. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(3-2x)^2-9}{x}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2(3-2x)(-2)}{1}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2(3-2.0)(-2)}{1} = -12$
d. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sqrt{9-x}-3}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2}{\frac{-1}{2 \sqrt{9-1}}}$
=$-4 \sqrt{9-0}=-12$
e. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:
$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{tan\pi x}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2x}{\pi sec^2 \pi x}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2x cos^2 \pi x}{\pi}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2.2.1^2}{\pi}=\frac{4}{\pi}$
f. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital diperoleh:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-x}{tanx-x}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{sec^2 x-1}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{\frac{sin^2 x}{cos^2 x}}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cos^2 x(1-cosx)}{(1-cosx)(1 + cosx)}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cos^2 x}{1 + cosx}$
= $\frac{-cos^2 0}{1+cos0}=\frac{-1^2}{1 + 1}= \frac{1}{2}$
g. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital dua kali diperoleh:
$\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{cosx+cos2x}{xsin^2x}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-sinx-2sin2x}{sin^2 x+2xsinxcosx}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-sinx-2sin2x}{sin^2 x+xsin2x}$
= $\lim\limits_{x\rightarrow \pi }\frac{-cosx-4cos2x}{2sinxcosx+sin2x+2xcos2x}$
= $\frac{-cos \pi-4cos2 \pi}{2sin \pi cos \pi +sin2 \pi+2 \pi cos2 \pi}$
= $\frac{-(-1)-4(1)}{2(0) (-1) +0+2 \pi (0)}=-\frac{3}{2 \pi}$
i. Bentuk limitnya $\frac{0}{0}$, dengan menggunakan Teorema L'Hospital dua kali diperoleh:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos3x}{sin^2x}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx+3sin3x}{2sinxcosx}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx+3sin3x}{sin2x}$
=$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-cosx+9cos3x}{2cos2x}$
=$\frac{-cos0+9cos0}{2cos0}=\frac{-1+9}{2}=4$
Post a Comment for "Teorema L'Hospital dan Pembahasan Soal"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!