Penerapan Turunan Fungsi pada Gerak Rektilinear & Pembahasan Soal

Gerak rektilinear adalah gerakan sebuah partikel di sepanjang garis lurus. Persamaan gerak sebuah partikel dinyatakan sebagai s = f(t), dengan s = panjang lintasan atau jarak (dalam satuan panjang) dan t = waktu (dalam satuan waktu).

Untuk melihat gerakan sebuah partikel yang bergerak di sepanjang garis lurus, tetapkan titik asal O pada garis itu, ambila arah positif ke kanan dan arah negatif ke kiri. Jarak berarah (jarak yang nilainya dapat bernilai positif atau negatif) dari partikel pada saat t adalah f(t). Jika f(t) > 0 berarti terletak di sebelah kanan O dan jika f(t) < 0 berarti partikel terletak di sebelah kiri O.

a. Kecepatan dan Laju 

Kecepatan v(t) (dalam satuan panjang per satuan waktu) dari suatu gerak rektilinear, pada setiap saat t adalah sebagai berikut ini.

$v(t)=\frac{ds}{dt}=\frac{df}{dt}=f'(t)$

Kecepatan gerak dari sebuah partikel merupakan turunan pertama dari panjang lintasan terhadap waktu t. Dengan perkataan lain bahwa kecepatan (sesaat) adalah laju perubahan panjang lintasan s terhadap waktu t.

Besar atau nilai skalar dari kecepatan pada waktu t dinamakan laju. Laju didefinisikan sebagai nilai mutlak kecepatan.

Laju pada waktu $t=\left | v(t) \right |= \left |\frac{ds}{dt}  \right |=\left |\frac{df}{dt}  \right |=\left |f'(t)  \right |$

Perhatikan bahwa laju partikel tidak bergantung pada arah gerakannya.

b. Hubungan s = f(t) dan v(t)

Misalkan panjang lintasan s sebagai fungsi waktu t ditentukan oleh s = f(t) dalam interval waktu T dan v(t) = f'(t) ada untuk setiap t dalam T.

• Jika v(t) > 0 (partikel bergerak ke kanan) untuk t ∊ T, maka s naik pada T, artinya secara fisis, partikel bergerak dengan nilai panjang lintasan s yang semakin bertambah besar.
• Jika v(t) < 0 (partikel bergerak ke kiri) untuk t ∊ T, maka s naik pada T, artinya secara fisis, partikel bergerak dengan nilai panjang lintasan s yang semakin berkurang.
• Jika v(t) = 0 untuk t ∊ T, maka s stasioner pada T, artinya secara fisis partikel diam sesaat atau tidak bergerak.

c. Percepatan dan Besar Percepatan

Percepatan a(t) (dalam satuan kecepatan per satuan waktu) dari suatu gerak suatu gerak rektilinear pada setiap saat t adalah sebagai berikut.

$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left ( \frac{ds}{dt} \right )= \frac{d^2 s}{dt^2}=v'(t)=f''(t)$

Percepatan gerak partikel merupakan turunan pertama dari kecepatan v terhadap waktu atau turunan kedua dari panjang lintasan s terhadap t.

d. Hubungan v(t) dan a(t)

Misalkan kecepatan v sebagai fungsi waktu t ditentukan oleh v = v(t) dalam interval waktu T dan a(t) = v'(t) ada untuk setiap t dalam interval waktu T.

• Jika a(t) > 0 untuk t ∊ T, maka v naik pada T, artinya secara fisis, partikel bergerak dengan nilai kecepatan v yang semakin bertambah besar atau gerakan pertikel dipercepat.
• Jika a(t) < 0 untuk t ∊ T, maka v turun pada T, artinya secara fisis, partikel bergerak dengan nilai kecepatan v yang semakin berkurang atau gerakan pertikel diperlambat.
• Jika a(t) = 0 untuk t ∊ T, maka v stasioner pada T, artinya secara fisis partikel bergerak dengan kecepatan v tetap atau gerak partikel tidak dipercepat maupun diperlambat.

Dalam kasus v > 0 dan a > 0 atau v< 0 dan a < 0, maka laju partikel |v| adalah naik atau bertambah. Sedangkan dalam kasus v > 0 dan a < 0 atau v < 0 atay a > 0, maka laju partikel |v| adalah turun atau berkurang.

Contoh Soal 1

Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan $s = f(t)=t^3 -3t^2 + 2t + 3$, dengan s adalah panjang lintasan (dalam meter) dan t adalah waktu (dalam detik).

a. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel sebagai fungsi waktu t.

b. Hitunglah kecepatan dan percepatan partikel saat t = 2 detik.

Jawab:

a. Kecepatan dan percepatan partikel didapat dari turunan pertama dan turunan kedua panjang lintasan $s = f(t)=t^3 -3t^2 + 2t + 3$ terhadap t.

Kecepatan $v(t) = \frac{ds}{dt} =3t^2 - 6t + 2$

Percepatan $a(t) = \frac{dv}{dt}=6t-6$

b. Saat t = 2 detik didapat:

Kecepatan partikel:

$v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2$ = 2 m/detik

Percepatan partikel:

$a(2) = 6(2) - 6= 6 \frac{m}{detik^2}$

Perlu kita pahami bahwa benda bergerak sepanjang sumbu s, bukan pada jalur di atasnya.

Akan tetapi jalur itu menunjukkan apa yang terjadi pada benda. Jika 0 ≤ t < 2, kecepatan negatif: benda bergerak ke kiri (mundur).

Pada saat t = 2 benda "diperlambat" hingga kecepatan nol, kemudian muai bergerak ke kanan jika kecepatannya positif.

Jadi, kecepatan negatif bersesuaian dengan gerakan benda itu ke arah berkurangnya s. Kecepatan positif bersesuaian dengan gerakan benda itu ke arah bertambahnya s.

Contoh Soal 2

Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sehingga posisinya pada saat t ditentukan dengan persamaan $s = t^3 - 9t^2 + 24t - 40$, t ≥ 0, dengan s diukur dalam meter dan t dalam detik.

a. Carilah kecepatan dan percepatan partikel sebagai fungsi waktu t

b. Kapan kecepatan partikel 0?

c. Kapan kecepatan partikel positif?

d. Kapan partikel bergerak mundur (yaitu ke kiri)

e. Kapan percepatan partikel nol?

f. Kapan percepatan partikel positif?

Jawab:

a. Kecepatan dan percepatan partikel didapat dari turunan pertama dan turunan kedua panjang lintasan $s = t^3 - 9t^2 + 24t - 40$ terhadap t.

Kecepatan $v(t) = \frac{ds}{dt} =3t^2 - 18t + 24$

Percepatan $a(t) = \frac{dv}{dt}=6t-18$

b. Kecepatan partikel 0, berarti

v(t) = 0

$3t^2 - 18t + 24=0$

$t^2 - 6t + 8=0$

(t - 2)(t - 4) = 0

t = 2 atau t = 4

Kecepatan partikel:

$v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2$ = 2 m/detik

Jadi, kecepatan partikel 0 pada waktu t = 2 detik dan t = 4 detik.

c. Kecepatan partikel positif, berarti

v(t) > 0

$3t^2 - 18t + 24>0$

$t^2 - 6t + 8>$

(t - 2)(t - 4) > 0

t = 2 atau t = 4 dan t ≥ 0,

0 ≤ t < 2 atau t > 4

Jadi, kecepatan partikel positif pada saat t, dengan 0 ≤ t < 2 atau t > 4.

d. Partikel bergerak mundur (ke kiri), berarti 

v(t) < 0

$3t^2 - 18t + 24 < 0$

$t^2 - 6t + 8 < $

(t - 2)(t - 4) < 0

2 < t < 4

Jadi, partikel bergerak mundur (yaitu ke kiri) pada interval 2 < t < 4.

e. Percepatan partikel 0, berarti

a(t) = 0

6t - 18 = 0

t = 3 detik

Jadi, percepatan partikel 0 pada waktu t = 3 detik.

f. Percepatan partikel positif, berarti

a(t) > 0

6t - 18 > 0

t > 3

Jadi, percepatan partikel positif pada interval t > 3.

Secara skematis gerak partikel dengan persamaan $s = t^3 - 9t^2 + 24t - 40$, t ≥ 0, diperlihatkan pada gambar berikut ini.