Menggambar Grafik Fungsi dan Pembahasan Soal

Kalkulus diferensial menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik (kurva) secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik. Dengan menggunakan turunan pertama dan kedua memungkinkan kita untuk mengetahui pada daerah mana saja fungsi itu naik, turun, cekung ke atas, atau cekung ke bawah. Selain itu, dapat pula diketahui lokasi titik ekstrim lokal dan titik beloknya. Dengan menggunakan konsep limit kita dapat memperkirakan nilai fungsi untuk x menuju ke suatu nilai tertentu atau x menjadi sangat besar atau kecil sekali. Informasi ini sangat bermanfaat dalam menggambarkan sketsa grafik fungsi.

Prosedur atau langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambarkan sketsa grafik suatu fungsi y = f(x) adalah sebagai berikut.

Langkah 1: Lakukanlah analisis sebagai berikut.

1. Carilah koordinat-koordinat titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat.

• a. titik potong grafik dengan sumbu X didapat jika y = 0.
• b. titik potong grafik dengan sumbu Y didapat jika x = 0

2. Carilah turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f, yaitu f'(x) dan f''(x).

Dari turunan pertama f'(x) dapat ditentukan:

• a. selang-selang di mana fungsi f naik dan fungsi f turun.
• b. titik ekstrim fungsi f dan jenis-jenisnya

Dari turunan kedua f''(x) dapat ditentukan:

• a. selang-selang di mana fungsi f cekung ke atas dan f cekung ke bawah.
• b. titik belok fungsi f

3. Jika fungsi f didefinisikan:

• a. pada interval tertutup, carilah nilai fungsi f pada ujung-ujung selang
• b. pada interval terbuka (-∞, ∞), carilah nilai y = f(x) untuk nilai x yang besar positif dan untuk nilai x yang besar negatif.

4. Jika diperlukan, ambilah beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa kurva.

Langkah 2:

Koordinat-koordinat titik yang diperoleh pada langkah 1 digambarkan pada bidang Cartesius.

Langkah 3:

Koordinta-koordinat titik yang telah digambarkan pada bidang Cartesius pada langkah 2 dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi f dan kecekungan fungsi f pada selang-selang yang telah ditentukan.

Contoh Soal

Gambarlah sketsa kurva $f(x) = 4x^3 - 8x^2 - 3x + 9$

Jawab:

Langkah 1:

(1). Koordinat-koordinat titik potong kurva f dengan sumbu-sumbu koordinat

(a). Kurva f memotong sumbu Y, jika x = 0, maka $y = f(0x) = 4(0)^3 - 8(0)^2 - 3(0) + 9=9$. 

Jadi, koordinat titik potong kurva f dengan sumbu Y adalah (0, 9)

(b). Kurva f memotong sumbu X, jika y = 0, maka 

$4x^3 - 8x^2 - 3x + 9 = 0$

$(x + 1)(4x^2 - 12x + 9) = 0$

$(x + 1)(2x - 3)^2 = 0$

x = -1 atau x = 1$\frac{1}{2}$

Jadi, koordinat titik potong kurva f dengan sumbu X adalah (-1, 0) dan (1$\frac{1}{2}, 0)

(2). Turunan pertama dan kedua dari fungsi f adalah $f'(x) = 12x^2 - 16x - 3$ dan f''(x) = 24x - 16.

(a) Fungsi Naik dan Fungsi Turun serta Titik Ekstrim

• Fungsi naik dan Fungsi Turun

Dari $f'(x) = 12x^2 - 16x - 3$ dapat ditentukan: fungsi f naik, jika f'(x) > 0 maka

$12x^2 - 16x - 3>0$

(2x - 3)(6x + 1) > 0

x < $-\frac{1}{6}$ atau x > 1$\frac{1}{2}$

Fungsi f turun, jika f'(x) < 0, maka

$12x^2 - 16x - 3<0$

(2x - 3)(6x + 1) < 0

$-\frac{1}{6}$ < x < 1$\frac{1}{2}$

Jadi, fungsi $f(x) = 4x^3 - 8x^2 - 3x + 9$ naik pada interval x < $-\frac{1}{6}$ atau x > 1$\frac{1}{2}$, dan turun pada interval $-\frac{1}{6}$ < x < 1$\frac{1}{2}$

• Titik Ekstrim

Dari $f'(x) = 12x^2 - 16x - 3$ dapat ditentukan: titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

$12x^2 - 16x - 3=0$

(2x - 3)(6x + 1) = 0

x = $-\frac{1}{6}$ atau x = 1$\frac{1}{2}$

Untuk $x = 1 \frac{1}{2}$ diperoleh $f''(1 \frac{1}{2}) = 24(1 \frac{1}{2})-16 = 20 > 0$, maka menurut uji turunan kedua, fungsi f mempunyai nilai balik minimum di $x = 1 \frac{1}{2}$ dan nilai balik minimum itu adalah

$f(1 \frac{1}{2}) = 4(1 \frac{1}{2})^3 - 8(1 \frac{1}{2})^2 - 3(1 \frac{1}{2}) + 9 = 0$

untuk $x = - \frac{1}{6}$ diperoleh 

$f''(- \frac{1}{6}) = 24(- \frac{1}{6}) - 16 = -20 < 0$

maka menurut uju turunan kedua, fungsi f mempunyai nilai balik minimum di $x = -\frac{1}{6}$ dan nilai balik maksimum itu adalah

$f(- \frac{1}{6}) = 4(- \frac{1}{6})^3 - 8(- \frac{1}{6})^2 - 3(- frac{1}{6}) + 9= 9 \frac{7}{27}$

Jadi, koordinat titik balik minimum fungsi f adalah ($1 \frac{1}{2}$, 0) dan koordinat titik balik maksimum fungsi f adalah ($- \frac{1}{6}$, $9 \frac{7}{27}$)

(c). Kecekungan Fungsi dan Titik Belok Fungsi

• Kecekungan Fungsi

Dari f''(x) = 24x - 16 dapat ditentukan:

Fungsi f cekung ke atas, jika f''(x) > 0, maka

24x - 16 > 0

x > $ \frac{2}{3}$

Fungsi f cekung ke bawah, jika f''(x) < 0, maka

24x - 16 < 0

x < $\frac{2}{3}$

Jadi, fungsi $y = f(x) = 4x^3 - 8x^2 - 3x + 9$ cekung ke atas pada interval $x = \frac{2}{3}$ dan cekun ke bawah pada $x < \frac{2}{3}$

• Titik Belok Fungsi

Syarat perlu bagi titik belok fungsi f adalah f''(x) = 0, maka 

24x - 16 = 0 → $x = \frac{2}{3}$

Untuk $x = \frac{2}{3}$ diperoleh $f(\frac{2}{3}) = 4(\frac{2}{3})^3 - 8(\frac{2}{3})^2 - 3(\frac{2}{3}) + 9 = 4 \frac{17}{27}$

Sehingga didapat koordinat titik ($\frac{2}{3}$, $4 \frac{17}{27}$)

Karena f''(x) < 0 untuk $x < \frac{2}{3}$ dan f''(x) > 0 untuk $x > \frac{2}{3}$, maka fungsi f cekung ke bawah untuk $x < \frac{2}{3}$ dan f cekung ke atas untuk $x > \frac{2}{3}$.

Jadi, titik ($\frac{2}{3}$, $4 \frac{17}{27}$) adalah titik belok fungsi f.

(3). $y = f(x) = 4x^3 - 8x^2 - 3x + 9$. Untuk nilai x yang besar, maka $y\approx 4x^4$.

Jadi, untuk nilai x besar positif maka y besar positif dan untuk nilai x besar negatif maka y besar negatif.

(4). Mengambil/menentukan beberapa titik-titik tertentu untuk memperhalus sketsa kurva atau grafik fungsi f.

untuk $x = - 1 \frac{1}{2}$ diperoleh $f(-1 \frac{1}{2}) = 4(-1 \frac{1}{2})^3 - 8(-1 \frac{1}{2})^2 - 3(-1 \frac{1}{2}) + 9 = -18$, sehingga didapat koordinat titik ($ -1 \frac{1}{2}$, -18).

Untuk x = 1 diperoleh $f(1) = 4(1)^3 - 8(1)^2 - 3(1) + 9 = 2$, sehingga didapat koordinat titik (1, 2).

Untuk x = 2 diperoleh $f(2) = 4(2)^3 - 8(2)^2 - 3(2) + 9 = 3$, sehingga didapat koordinat titik (2, 3)

Langkah 2:

Titik-titik yang didapat pada langkah 1 digambarkan pada bidang Cartesius yang ditandai dengan noktah.

Langkah 3:

Semua titik yang telah digambarkan pada bidang Cartesius pada langkah 2 dihubungkan sedemikian rupa dengan mempertimbangkan sifat naik dan turunnya fungsi f serta sifat kecekungannya, sehingga diperoleh kurva fungsi $y = f(x) = 4x^3 - 8x^2 - 3x + 9$ yang mulus.