Kecekungan dan Titik Belok Suatu Fungsi Kontinu dan Pembahasan Soal

 

a. Kecekungan Fungsi Kontinu

Jika garis singgung berliku secara bertahap tetap berlawanan arah searah jarum jam, kita katakan grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah putaran jarum jam, grafik cekung ke bawah.

Definisi:

Misalkan fungsi f(x) kontinu dan diferensiabel pada selang terbuka I.

1. Jika f'(x) naik pada selang I, maka kurva fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada I
2. Jika f'(x) turun pada selang I, maka kurva fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada I.

Sehubungan dengan teorema kemonotonan, kita mempunyai syarat sederhana untuk memutuskan di mana kurva cekung ke atas dan di mana kurva cekung ke bawah. Kita cukup mengingat bahwa turunan kedua dari f adalah turunan pertama dari f'. Jadi, f' naik jika f'' positif dan f' turun jika f'' negatif.

Teorema Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Kecekungan Fungsi Kontinu:

Misalkan fungsi f(x) kontinu dan terdiferensial dua kali pada selang terbuka I.

1. Jika f''(x) > 0 untuk semua x pada selang I, maka kurva fungsi f(x) cekung ke atas pada I.
2. Jika f''(x) < 0 untuk semua x pada selang I, maka kurva fungsi f(x) cekung ke bawah pada I.

b. Belok Fungsi Kontinu

Jika di suatu titik pada kurva fungsi kontinu terjadi perubahan kecekungan dan di titik itu terdapat garis singgung, maka itu dinamakan titik belok horisontal fungsi selanjutnya disingkat dengan titik belok fungsi.

Definisi:

Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka I yang memuat c. Fungsi f dikatakan mencapai titik belok di c jika di sekitar c terdapat perubahan kecekungan dari fungsi f dan di x = c terdapat garis singgung pada grafik fungsi f. Dalam hal ini (c, f(c)) dinamakan titik belok dari fungsi f.

Perlu diketahui bahwa apabila f''(x) = 0, maka (c, f(c)) belum tentu titik belok fungsi f. Akan tetapi, jika (c, f(c)) titik belok fungsi f maka dapat dipastikan bahwa f''(c) = 0. Fakta ini dinamakan syarat (kondisi) perlu bagi sebuah titik belok fungsi.

Teorema Syarat Perlu Bagi Titik Belok:

Jika fungsi f terdiferensial dua kali pada x = c atau f''(c) dan (c, f(c)) adalah titik belok kurva fungsi y = f(x), maka f''(c) = 0.

Untuk mengetahui bahwa (c, f(c)) adalah titik belok fungsi f atau bukan, dapat dilakukan dengan cara mengamati tanda-tanda dari f''(x) di sekitar x = c, dengan menggunakan strategi uji turunan kedua.

• Strategi Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Titik Belok

Teorema:

Misalkan fungsi f terdirensial dua kali pada x = c dan f''(c) = 0

1. Jika f''(x) < 0 untuk x < c (fungsi f cekung ke bawah), f''(x) = 0 untuk x = c, dan f''(x) > 0 untuk x > c (fungsi f cekung ke atas), maka titik (c, f(c)) adalah titik belok fungsi f.
2. Jika f''(x) > 0 untuk x < c (fungsi f cekung ke atas), f''(x) = 0 untuk x = c, dan f''(x) < 0 untuk x > c (fungsi f cekung ke bawah), maka titik (c, f(c)) adalah titik belok fungsi f.

Dalam hal f''(x) tidak memenuhi aturan di atas, maka (c, f(c)) buka titik belok fungsi f.

Sejalan dengan uraian di atas, mungkin saja terjadi titik (c, f(c)) adalah titik belok fungsi f meskipun f''(c) tidak ada.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa titik belok fungsi f dapat dikenali dengan langkah-langkah berikut ini.

1. Hitung f''(x) dan carilah c yang menghasilkan f''(c) = 0 atau f''(c) tidak ada.
2. Tentukan sifat kecekungan fungsi f di sekitar nilai c yang diperoleh pada langkah 1.
3. Jika pada langkah 2 terjadi perubahan kecekungan, cekung ke bawah menjadi cekung ke atas atau sebaliknya, maka titik (c, f(c)) merupakan titik belok fungsi f. Dalam hal lain titik ini bukan titik belok.

• Strategi Uji Turunan Ketiga untuk Menentukan Titik Belok

Kita mempunyai sifat bahwa jika f''(c) = 0 dan di sekitar c terjadi perubahan kecekungan fungsi f, maka fungsi f mencapai titik belok di x = c. Syarat terdapatnya perubahan kecekungan dari fungsi f di sekitar c dapat di ganti oleh f'''(c) ≠ 0, asalkan fungsi f mempunyai turunan kedua di sekitar c.

Teorema:

Misalkan fungsi f mempunyai turunan kedua pada selang terbuka I yang memuat c dan f'''(c) ada. Jika f''(c) = 0 dan f'''(c) ≠ 0, maka fungsi f mencapai titik belok di c.

Contoh Soal 1

Untuk setiap fungsi berikut ini, carilah pada interval mana fungsi f cekung ke atas dan pada interval mana fungsi f cekung ke bawah.

a. $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x - 11$

b. $f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 + 24$

Jawab:

a. Turunan pertama dan kedua dari fungsi $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x - 11$ adalah $f'(x) = 3x^2 + 12x + 12$ dan $f''(x) = 6x + 12$

Dengan menggunakan strategi uji turunan kedua untuk kecekungan fungsi, dapat ditentukan:

f''(x) > 0 6x + 12 > 0 x > -2

f'' < 0 6x + 12 < 0 x < -2

Jadi, kurva fungsi $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x - 11$ cekung ke atas pada interval x > -2 dan cekung ke bawah pada interval x < -2 dan cekung ke bawah pada interval x < -2.

b. Dari fungsi $f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x + 24$ diperoleh $f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x$ dan $f''(x) = 12x^2 - 48x + 36$.

Dengan menggunakan strategi uji turunan kedua bagi kecendrungan fungsi dapat ditentukan:

f''(x) > 0 $12x^2 - 48x + 36 > 0$ $x^2 - 4x + 3 > 0$ (x - 1)(x - 3) > 0 x < 1 atau x > 3

f''(x) < 0 $12x^2 - 48x + 36 < 0$ $x^2 - 4x + 3 < 0$ (x - 1)(x - 3) < 0 1 < x < 3

Jadi, kurva fungsi $f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x + 24$ cekung ke atas pada interval x < 1 atau x > 3 dan cekung ke bawah pada interval 1 < x < 3.

Contoh Soal 2

Untuk setiap fungsi berikut ini, carilah pada interval mana fungsi f cekung ke atas dan pada interval mana fungsi f cekung ke bawah.

a. $f(x) = x^3 + 12x^2 + 48x - 60$

b. $f(x) = x^4 - 10x^3 + 36x^2 + 2x + 8$

Jawab:

a. Strategi 1: Strategi Uji Turunan Kedua di Titik Belok.

Dari fungsi $f(x) = x^3 + 12x^2 + 48x - 60$ diperoleh $f'(x) = 3x^2 + 24x + 48$ dan $f''(x) = 6x + 24$

Syarat perlu bagi titik belok adalah f''(x) = 0, maka

6x + 24 = 0 → x = -4

Untuk x = -4 diperoleh $f(-4) = (-4)^3 + 12(-4)^2 + 48(-4) - 60 = -76$, sehingga didapat koordinat titik (-4, -76).

Pemeriksaan tanda-tanda f''(x) di sekitar x = -4 ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Dari tabel di atas terlihat bahwa kurva fungsi f mengalami perubahan kecekungan dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas, sehingga disimpulkan bahwa titik (-4, -76) merupakan titik belok fungsi f.

Jadi, koordinat titik belok fungsi $f(x) = x^3 + 12x^2 + 48x - 60$ adalah (-4, -76).

Strategi 2: Strategi Turunan Ketiga di Titik Belok.

Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari $f(x) = x^3 + 12x^2 + 48x - 60$ adalah $f'(x) = 3x^2 + 24x + 48$, $f''(x) = 6x + 24$ dan f'''(x) = 6.

Dari f''(x) = 6x + 24 = 0 diperoleh x = -4, dengan $f(-4) = (-4)^3 + 12(-4)^2 + 48(-4) - 60 = -76$.

Karena f'''(x) = 6 ≠ 0, maka titik belok fungsi f adalah (-4, -76).

b. Strategi 1: Strategi Uji Turunan Kedua di Titik Belok.

Dari fungsi $f(x) = x^4 - 10x^3 + 36x^2 + 2x + 8$ diperoleh $f'(x) = 4x^3 - 30x^2 + 72x - 24$ dan $f''(x) = 12x^2 - 60x + 72$

Syarat perlu bagi titik belok adalah f''(x) = 0, maka

$12x^2 - 60x + 72 = 0$

$12(x^2 - 5x + 6) = 0$

12(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2 atau x = 3

Untuk x = 2 diperoleh $f(2) = (2)^4 - 10(2)^3 + 36(2)^2 + 2(2) + 8 = 40$, sehingga didapat koordinat titik (2, 40).

Untuk x = 3 diperoleh $f(3) = (3)^4 - 10(3)^3 + 36(3)^2 + 2(3) + 8 = 71$, sehingga didapat koordinat titik (3, 71).

Pemeriksaan tanda-tanda $f''(x) = 12x^2 - 60x + 72 = 12(x^2 - 5x +6) = 12(x - 2)(x - 3)$ di sekitar x = 2 dan x = 3 ditunjukkan pada tabel berikut ini.

Dari tabel di atas terlihat bahwa kurva fungsi f mengalami perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah di titik (2, 40), dan dari cekung ke bawah menjadi ke bawah menjadi cekung ke atas di titik (3, 71), sehingga dapat disimpulkan bahwa titik (2, 40) dan (3, 71) masing-masing merupakan titik belok fungsi f.

Jadi, koordinat-koordinat titik belok fungsi $f(x) = x^4 - 10x^3 + 36x^2 + 2x + 8$ adalah (2, 40) dan (3, 71).

Strategi 2: Strategi Turunan Ketiga di Titik Belok.

Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari $f(x) = x^4 - 10x^3 + 36x^2 + 2x + 8$ adalah $f'(x) = 4x^3 - 30x^2 + 72x -24$, $f''(x) = 12x^2 - 60x + 72$ dan f'''(x) = 24x - 60.

Dari f''(x) = 12x^2 - 60x + 72 = 0 diperoleh

$12x^2 - 60x + 72 = 0$

$12(x^2 - 5x + 6) = 0$

12(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2 atau x = 3

Untuk x = 2 diperoleh $f(2) = (2)^4 - 10(2)^3 + 36(2)^2 + 2(2) + 8= 40$, sehingga didapat koordinat titik (2, 40).

Untuk x = 3 diperoleh $f(3) = (3)^4 - 10(3)^3 + 36(3)^2 + 2(3) + 8= 71$, sehingga didapat koordinat titik (3, 71).

Karena f'''(2) = 24(2) - 60 = -12 ≠ 0 dan f'''(3) = 24(3) - 60 = 12 ≠ 0, maka titik belok fungsi f adalah (2, 40) dan (3, 71).