Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup & Pembahasan Soal

Untuk memahami nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup , perhatikanlah ilustrasi berikut ini.

Diberikan fungsi y = f(x) yang kontinu dalam interval tertutup D_f = [a, g] atau D_f = {x | a  ≤ x ≤ g, x ∊ R}. Fungsi f mempunyai nilai maksimum f(c) dan nilai balik minimum f(d) seperti ditunjukkan pada gambar.

Strategi menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f untuk berbagai interval tertutup adalah sebagai berikut.

a. Pada interval [a, g] dapat ditetapkan:

• Nilai maksimum fungsi f adalah f(g), sebab f(g) ≥ f(x) untuk setiap nilai x pada interval [a, g]. Nilai maksimum f(g) merupakan nilai fungsi f pada ujung kanan interval.

• Nilai minimum fungsi f adalah f(a), sebab f(a) ≤ f(x) untuk setiap nilai x pada interval [a, g]. Nilai minimum f(a) merupakan nilai fungsi f pada ujung kiri interval.

b. Pada interval [b, e] dapat ditetapkan:

• Nilai maksimum fungsi f adalah f(c), sebab f(c) ≥ f(x) untuk setiap nilai x pada interval [b, e]. Nilai maksimum f(c) merupakan nilai balik maksimum fungsi f.
• Nilai minimum fungsi f adalah f(d), sebab f(d) ≤ f(x) untuk setiap nilai x pada interval [b, e]. Nilai minimum f(d) merupakan nilai balik minimum fungsi f.

c. Pada interval [b, g] dapat ditetapkan:

• Nilai maksimum fungsi f adalah f(g), sebab f(g) ≥ f(x) untuk setiap nilai x pada interval [b, g]. Nilai maksimum f(g) merupakan nilai balik maksimum fungsi f.
• Nilai minimum fungsi f adalah f(d), sebab f(d) ≤ f(x) untuk setiap nilai x pada interval [b, g]. Nilai minimum f(d) merupakan nilai balik minimum fungsi f.

d. Pada interval [a, e] dapat ditetapkan:

• Nilai maksimum fungsi f adalah f(c), sebab f(c) ≥ f(x) untuk setiap nilai x pada interval [a, e]. Nilai maksimum f(c) merupakan nilai balik maksimum fungsi f.
• Nilai minimum fungsi f adalah f(a), sebab f(a) ≤ f(x) untuk setiap nilai x pada interval [a, e]. Nilai minimum f(a) merupakan nilai fungsi f pada ujung kiri interval.

Berdasarkan uraian tersebut dapat dikemukakan bahwa nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi f pada suatu interval tertutup I mempunyai 2 kemungkinan:

1. nilai balik maksimum atau nilai balik minimum fungsi f, atau
2. nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval I.

Nilai maksimum suatu fungsi f pada interval tertutup I dinamakan nilai maksimum mutlak (absolut) atau nilai maksimum global, sedangkan nilai minimumnya dinamakan nilai minimum mutlak atau nilai minimum global.

Jika dalam interval tertutup I nilai balik maksimum suatu fungsi f bukan nilai maksimum fungsi f, maka nilai balik maksimum itu dinamakan nilai maksimum relatif atau nilai maksimum lokal, maka nilai balik minimumnya itu dinamakan nilai minimum relatif atau nilai minimum lokal.

Definisi:

Misalkan fungsi f(x) kontinu dan diferensiabel pada nilai-nilai x pada daerah interval tertutup D_f dan c ∊ D_f. Kita katakan bahwa:

1. f(c) adalah nilai maksimum f pada D_f jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di D_f.
2. f(c) adalah nilai minimum f pada D_f jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di D_f.
3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada D_f jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Catatan: Maksimum atau minimum dari suatu fungsi dinamakan ekstrim fungsi tersebut.

Strategi Menentukan Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup.

Teorema Eksistensi Maksimum-Minimum

Misalkan fungsi f(x) kontinu pada daerah asal D_f . Jika interval tertutup [a, b] berada pada D_f, maka fungsi f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup I kita berpedoman pada titik ujung, titik stasioner, dan titik singular yang merupakan tiga titik kunci dari teori maksimum-minimum. Sembarang titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu tipe  tipe ini dinamakan sebuah titik kritis f, yaitu titik di mana lokasi ekstrim akan tercapai.

Teorema Titik Kritis:

Andaikan f didefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu dari:

1. titik ujung dari I;
2. titik stasioner dari f(f'(c) = 0); atau
3. titik singular dari f(f'(c) tidak ada)

Dalam kasus fungsi f tidak terdiferensialkan di c, titik c disebut titik singular dari fungsi f. 

Mengingat Teorema Eksistensi Maksimum-minimum dan Titik Kritis, kita dapat menyatakan suatu prosedur yang sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada interval tertutup I.

Langkah 1: Tentukan f'(x)

Langkah 2:

Tentukan semua titik kritis f pada interval tertutup [a, b], yaitu

a. titik ujung interval, x = a dan x = b

b. setiap c ∊ [a, b], dengan f'(c) = 0,

c. setiap titik d ∊ [a, b], dengan f'(d) tidak ada.

Langkah 3:

Hitunglah nilai fungsi f pada semua titik kritis yang diperoleh pada langkah 2. Kemudian bandingkan nilai fungsi di semua titik kritisnya, yang terbesar akan menjadi nilai maksimum mutlak dari fungsi f dan yang terkecil akan menjadi minimum mutlak dari fungsi f.

Contoh Soal 1

Carilah nilai maksimum dan nilai minimum fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang-selang tertutup berikut ini.

a. -1 ≤ x ≤ 0  b. -1 ≤ x ≤ 3

c. [1, 3] d. [2, 3]

Jawab:

Turunan pertama dari fungsi f adalah f'(x) = 3 - 2x.

titik stasioner fungsi f dicapai jika f'(x) = 0, maka

3 - 2x = 0 → $x = \frac{3}{2}$

Nilai stasionernya adalah

$f(\frac{3}{2}) = 3(\frac{3}{2}) - (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$

Dengan uji turunan pertama dapat diketahui bahwa $f(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$ merupakan nilai balik maksimum fungsi f.

a. Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang -1 ≤ x ≤ 0 dapat ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1:

Pada selang -1 ≤ x ≤ 0 tidak ada nilai balik maksimum, sebab nilai balik maksimum terjadi pada $x = \frac{3}{2}$

Langkah 2:

 Nilai-nilai fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada ujung-ujung selang

x = -1 ⇒ $f(-1) = 3(-1) - (-1)^2=-4$

x = 0 ⇒ $f(0) = 3(0) - (0)^2=0$

Langkah 3:

Dari hasil-hasil pada langkah 1 dan 2 dapat ditetapkan bahwa nilai fungsi f terbesar adalah 0 dan nilai terkecilnya adalah -4.

Jadi, fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang -1 ≤ x ≤ 0 mencapai nilai maksimum 0 dan nilai minimum -4, ditulis -4 ≤ f(x) ≤ 0 (perhatikan gambar)

Pada selang -1 ≤ x ≤ 0, nilai maksimum f(0) = 0 adalah nilai balik maksimum f dari minimum f(-1) = -4 adalah nilai f pada ujung kiri selang (garis vertikal tebal).

b. Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang -1 ≤ x ≤ 3 dapat ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1:

Pada selang -1 ≤ x ≤ 3 tidak ada nilai balik maksimum, sebab nilai balik maksimum terjadi pada $f(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$

Langkah 2:

Nilai-nilai fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada ujung-ujung selang

x = -1 ⇒ $f(-1) = 3(-1) - (-1)^2=-4$

x = 3 ⇒ $f(3) = 3(3) - (3)^2=0$

Langkah 3:

Dari hasil-hasil pada langkah 1 dan 2 dapat ditetapkan bahwa nilai fungsi f terbesar adalah $\frac{9}{4}$ dan nilai terkecilnya adalah -4.

Jadi, fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang -1 ≤ x ≤ 3 mencapai nilai maksimum $\frac{9}{4}$ dan nilai minimum -4, ditulis -4 ≤ f(x) ≤ $\frac{9}{4}$ (perhatikan gambar)

Pada selang -1 ≤ x ≤ 3, nilai maksimum $f(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$ adalah nilai balik maksimum f dari minimum f(-1) = -4 adalah nilai f pada ujung kiri selang.

c. Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang [1, 3] dapat ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1:

Pada selang [1, 3] tidak ada nilai balik maksimum, sebab nilai balik maksimum terjadi pada $f(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$

Langkah 2:

Nilai-nilai fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada ujung-ujung selang

x = 1 ⇒ $f(1) = 3(1) - (1)^2=2$

x = 3 ⇒ $f(3) = 3(3) - (3)^2=0$

Langkah 3:

Dari hasil-hasil pada langkah 1 dan 2 dapat ditetapkan bahwa nilai fungsi f terbesar adalah $\frac{9}{4}$ dan nilai terkecilnya adalah 0.

Jadi, fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang [1, 3] mempunyai nilai maksimum $\frac{9}{4}$ dan nilai minimum 0, ditulis 0 ≤ f(x) ≤ $\frac{9}{4}$ (perhatikan gambar)

Pada selang [1, 3], nilai maksimum $f(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$ adalah nilai balik maksimum f dari minimum f(3) = 0 adalah nilai f pada ujung kanan selang.

d. Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang [2, 3] dapat ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1:

Pada selang [2, 3] tidak ada nilai balik maksimum, sebab nilai balik maksimum terjadi pada $x = \frac{3}{2}$.

Langkah 2:

Nilai-nilai fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada ujung-ujung selang

x = 2 ⇒ $f(2) = 3(2) - (2)^2=2$

x = 3 ⇒ $f(3) = 3(3) - (3)^2=0$

Langkah 3:

Dari hasil-hasil pada langkah 1 dan 2 dapat ditetapkan bahwa nilai fungsi f terbesar adalah 2 dan nilai terkecilnya adalah 0.

Jadi, fungsi $f(x) = 3x - x^2$ pada selang [2, 3] mempunyai nilai maksimum 2 dan nilai minimum 0, ditulis 0 ≤ f(x) ≤ 2 (perhatikan gambar)

Pada selang [2, 3], nilai maksimum f(2) = 2 adalah nilai f pada ujung kiri selang dan nilai minimum f(3) = 0 adalah nilai f pada ujung kanan selang.